точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC паралелограмма ABCD, причем AE=ED,BF:FC=4:3 а) выразите вектор EF через векторы m=AB и n=AD б) Может ли при каком нибудь…

Задача векторная. Обозначим:

• m = AB
• n = AD
• Примем за начало точку A, тогда B = A + m, D = A + n, C = B + AD = A + m + n.

Данные:

• E лежит на AD и AE = ED, значит E — середина AD: E = A + (1/2) n.
• F лежит на BC и BF:FC = 4:3. Вектор BC = C − B = (A + m + n) − (A + m) = n. Тогда BF/FC = 4/3 даёт параметрt = 4/7 по отрезку BC, значит F = B + (4/7)(C − B) = m + (4/7) n.

а) Найдём вектор EF: EF = F − E = [m + (4/7) n] − [(1/2) n] = m + (4/7 − 1/2) n = m + (1/14) n.

Ответ: EF = m + (1/14) n.

б) Может ли при каком-нибудь x выполниться EF = x CD? У параллелограмма CD параллелен AB и равен по модулю AB, но направление противоположно AB. Вектор CD может быть записан как:

• CD = D − C = (A + n) − (A + m + n) = −m (то есть CD параллелен AB и направлен противоположно m).
• DC = C − D = m (если взять вектор в противоположном направлении).

Если EF = x CD, то:

• При CD = −m: EF = x(−m) = −x m. Это означает, что компонент вдоль n должна быть нулевой. Но у EF есть компонент (1/14) n, то равенство невозможно.
• При CD = −m или при DC = m любая линейная комбинация x CD по оси m не может убрать ненулевую компоненту вдоль n.

Следовательно, для ни одного x вектор EF не может быть кратен CD. Ответ: нет, такого x не существует.