Свободные электрические (электромагнитные) колебания получают в колебательном контуре, состоящем из параллельно соєдиных катуки нутивоти кондестра рис2). Энергия в колебательный контур передается через электромаг-нитное поле катушки возбуждения в, на которую подается напряжение прямоугольной формы от модуля функционального преобразователя FG. Резкое возрастание или убывания тока в катушке возбуждения создает в катушке индуктивности колебательного контура импульс ЭДС индукции, то есть контур получает порцию энергии. За счет этой энергии в колебательном контуре возникают свободные электромагнитные колебания, которые передаются на аналоговый вход 2 измерительной установки Кобра 3, при помощи которой можно вывести на монитор ЭВМ временную зависимость напряжения U(t) на конденсаторе контура и измерить период и амплитуду свободных колебаний. Период прямоугольных импульсов, подаваемых на катушку возбуждения, во много раз превышает период свободных колеба-ний в колебательном контуре. Свободные колебания в реальном контуре затухающие из-за потерь энергии на излучение и, в основном, из-за тепловых потерь в диэлектрике конденсатора и в активном сопротивлении контура. Потери энергии за один период можно вычислить по разности максимальных энергий конденсатора в момент времени t и (t+T): дельтаW = (C*U2(t))/2 - (C*U2(t+T))/2 Рассмотрим физические процессы, протекающие в колебательном контуре после того, как вся энергия контура будет сосредоточена в конденсаторе (см. рис.2). Разряд конденсатора С через катушку индуктивности L возбуждает в ней ЭДС само-индукции (Es=-Ldl/dt), направленной против нарастающего тока разряда (dI/dt>0). После разряда конденсатора ток начинает убывать (dl/dt<0), ЭДС самоиндукции меняет направление (Еs> 0) и поддерживает ток в прежнем направлении, что приводит к перезарядке конденсатора. В следующие полпериода процесс повторится в обратном направлении. Согласно второму правилу Кирхгофа в произвольный момент времени сумма напряжений в контуре равна ЭДС самоиндукции: Uc+I• R=-L•dI/dt. Учитывая, что I-dq/dt, а Uc-q/C уравнение (2) представим в виде Lq+R•q+q/C= 0. Разделив (3) на L и введя обозначения R/L=2В, (LC)"'=00, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: q+2B*q+w02q=0 Решением (4) является уравнение вида q=q0exp(-B•t)cos(w•t+a), (5) где w=корень(w02 - В2) - циклическая частота затухающих колебаний, а - начальная фаза, q0- амплитуда заряда на конденсаторе в начальный момент времени, В - коэффициент затухания, w0 - циклическая частота незатухающий колебаний. Напряжение на конденсаторе изменяется синфазно с зарядом: U=U0exp(-B*t)cos(w•t+ a), (6) где Uo= qm/C - амплитуда напряжения в момент времени t-0. При слабом затухании (В2 << w02) период колебаний мало отличается от периода незатухающих колебаний и определяется формулой Томсона: T=2пи/w =2пи/ корень ((1/LC)-(R2/4L2)) =2пи корень(LC) Логарифмический декремент у такого контура мал у =B•T, а его добротность O велика - Q= п/у. Если R2/4L2 ≥ 1/LC , то вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, а вся энергия, запасенная в контуре, переходит в тепловую энергию. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим (w=0). Значение критического сопротив-ления вытекает из равенства wо= В: Rкр= 2корень(L/C) 1. Какие физические процессы протекают в колебательном контуре? 2. Приведите дифференциальное уравнение свободных колебаний в реальном колебательном контуре и его решение. При каких условиях колебательный контур можно считать идеальным? 3. Каков физический смысл основных характеристик затухающих электромагнитных колебаний? 4. Перечислить основные параметры колебательного контура. Каков их физический смысл?

Ниже даю лаконичные ответы в виде экзаменационной записки. 1) Какие физические процессы протекают в колебательном контуре? - Обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем индуктора: энергия периодично перекладывается из конденсатора в индуктивность и обратно. - ЭДС самоиндукции: если ток в контуре меняется, в индуктивности возникает противодействующая ЭДС Es = −L di/dt, которая поддерживает/изменяет направление тока и обеспечивает перезарядку конденсатора. - Внешнее возбуждение: резкие возбуждающие импульсы подаются на катушку возбуждения, после чего контур получает порцию энергии и начинает свободные колебания. - Потери (затухание): потери энергии за счет сопротивления активной части контура (проводники, активное сопротивление), потери в диэлектрике конденсатора (диэлектрические потери), излучение и другие паразитные потери — они переводят энергию в тепло и приводят к затуханию колебаний. - В идеальном случае без потерь колебания продолжаются бесконечно. 2) Приведите дифференциальное уравнение свободных колебаний в реальном колебательном контуре и его решение. При каких условиях контур можно считать идеальным? - Уравнение для последовательного RLC-контурa (заряд q на конденсаторе): L d^2q/dt^2 + R dq/dt + q/C = 0 или после деления на L: q'' + (R/L) q' + (1/(LC)) q = 0 - Введем параметры: α = R/(2L) (затухание), ω0 = 1/√(LC) (естественная частота без затухания), тогда уравнение записывается как q'' + 2α q' + ω0^2 q = 0. - Решения в зависимости от отношения α и ω0: - При затухании слабом (α < ω0, т.е. β^2 < ω0^2): незатухающие частоты ωd = sqrt(ω0^2 − α^2), амплитуда убывает как e^(−α t). Решение q(t) = q0 e^(−α t) cos(ωd t + φ), напряжение на конденсаторе U(t) пропорционально q(t): U(t) ≈ U0 e^(−α t) cos(ωd t + φ). Период затухающих колебаний T = 2π/ωd ≈ 2π/√(ω0^2 − α^2) (для малого α — почти 2π/ω0). - При критическом затухании (α = ω0): q(t) = (A + B t) e^(−α t). - При квадратичном перегибе затухания (α > ω0): overdamped, решения в виде суммы экспонент: q(t) = A e^{(−α + √(α^2 − ω0^2)) t} + B e^{(−α − √(α^2 − ω0^2)) t}. - При идеальном контуре (идеальные элементы, без потерь): R = 0, тогда q'' + ω0^2 q = 0, решение q = q0 cos(ω0 t + φ), U(t) = U0 cos(ω0 t + φ), период T0 = 2π/ω0. - Условия идеальности: пренебрежение потерями (R ≈ 0, без диэлектрических потерь и паразитных параметров), высокий КПД (Q ≫ 1). 3) Каков физический смысл основных характеристик затухающих электромагнитных колебаний? - ω0 (частота свободных незатухающих колебаний): естественная круговая частота системы без потерь. От неё зависят период и резонансные свойства. - α (коэффициент затухания, часто обозначают β или B): скорость убывания амплитуды во времени; определяет, насколько быстро энергия теряется при каждом обороте. - ωd = sqrt(ω0^2 − α^2) (частота затухающих колебаний): фактическая частота колебаний при затухании; если α близко к ω0, ωd малы́. - T (период затухающих колебаний): T = 2π/ωd (для подзатухающих случаев); в идеале T0 = 2π/ω0. - E(t) (полная энергия контура): суммарная энергия в поле конденсатора и индуктора; затухает примерно как W(t) ∝ e^(−2α t). - Q (качество контура): мера резонансной "крутизны" резонанса, Q ≈ ω0/(2α) = √(L/C)/R для серии RLC; чем выше Q, тем менее затухание и уже резонанс. - δ (логарифмический декремент) u: u = ln(Ak/Ak+1) за один период; характеризует относительное затухание амплитуды за цикл. - Rкр (критическое сопротивление): порог, при котором колебания переходят в апериодический разряд. Величина Rкр = 2√(L/C) для заданного L и C. - W = 1/2 L I^2 + 1/2 C U^2: энергия контура; при затухании энергия перераспределяется в тепло в резисторе и диэлектрике. - Это все вместе описывает, как контур теряет энергию и при каких условиях он продолжает или прекращает колебания. 4) Перечислить основные параметры колебательного контура. Каков их физический смысл? - Линии элементов: - L — индуктивность: хранит энергию в магнитном поле, определяет частоту и динамику обмена энергией с конденсатором. - C — емкость: хранит энергию в электрическом поле, определяет частоту и энергетику обмена. - R — активное сопротивление: представляет потери энергии (тепло); определяет скорость затухания и качество резонанса. - Производные/вводные величины: - ω0 = 1/√(LC) — естественная частота без затухания. - α = R/(2L) — коэффициент затухания (половинная скорость экспоненциального затухания амплитуды в формате e^(−α t)). - ωd = √(ω0^2 − α^2) — затухавшая частота (для α < ω0). - T = 2π/ωd (для подзатухающих случаев); приближенно T ≈ 2π/ω0 при слабом затухании. - Q = ω0/(2α) = √(L/C)/R — коэффициент качества, характеризующий «резкость» резонанса и относительную величину потерь. - Rкр = 2√(L/C) — критическое сопротивление: при R ≥ Rкр колебания становятся апериодическими. - W(t) = 1/2 L I^2(t) + 1/2 C U^2(t) — энергия контура. - δ (логарифмический декремент) u = α T — мера относительного затухания за один период. - Эти параметры позволяют проводить анализ затухания, расчёт периода, амплитуды и энергии, а также оценивать качество резонансного процесса. Если нужно, могу привести небольшие примеры численных значений или помочь с расчетом для конкретных L, C, R.