Что такое многоугольник

Коротко: многоугольник — это фигура на плоскости, ограниченная ломаной из конечного числа отрезков прямых, которые соединяют последовательные вершины и замыкаются в первую вершину.

Более подробно:

• Составляющие: вершины V1, V2, …, Vn и стороны ViVi+1 (с Vi+1 — это V1, когда i = n). Количество вершин n называется порядком многоугольника, и говорят «n-угольник».
• Простые и самопересекающиеся: если ломаная не пересекается сама собой, это простой (или выпуклый/невыпуклый) многоугольник. Если пересекается — самопересекающийся.
• Виды по форме: выпуклый (диагонали лежат внутри), невыпуклый (есть внутренний угол > 180°), регулярный (все стороны равны и все углы равны).

Ключевые свойства и формулы:

• Сумма внутренних углов для простого n-угольника: (n − 2) · 180°.
• Периметр: сумма длин всех его сторон.
• Внешние углы: сумма внешних углов равна 360°.
• Площадь: зависит от конкретной фигуры. Можно разложить на треугольники или использовать формулу Шоеля: A = 1/2 |Σ (x_i y_{i+1} − x_{i+1} y_i)|. Для регулярного n-угольника со стороной a площадь равна A = (n a^2) / (4 tan(π/n)). Радиусы для регулярного многоугольника: вписанная r = a / (2 tan(π/n)), описанная R = a / (2 sin(π/n)).

Примеры: треугольник (3-угольник), квадрат (4-угольник), пентагон (5-угольник) и т. д.

Если нужно, могу привести конкретное решение задачи на площадь/периметр конкретного многоугольника.