Переведи в тригонометрическую функцию пример z=-7√3 + 7i с чертежом и не используя в решение число π

Задача: перевести z = -7√3 + 7i в тригонометрическую (полярную) форму, привести чертёж и не использовать число π в решении.

Коротко общее решение

• Найдём модуль r: r = sqrt((-7√3)^2 + 7^2) = sqrt(49·3 + 49) = sqrt(196) = 14.
• Найдём аргумент θ. x = -7√3 < 0, y = 7 > 0, значит угол в квадрате II. tan θ = y/x = 7/(-7√3) = -1/√3. По таблице тригонометрии это означает референсный угол 30°. В квадранте II угол равен θ = 180° - 30° = 150°.
• Тригонометрическая форма: z = r [cos θ + i sin θ] = 14 [cos 150° + i sin 150°].
• Используем значения cos 150° = -√3/2 и sin 150° = 1/2. Получаем z = 14 [(-√3)/2 + i(1/2)] = -7√3 + 7i, что совпадает с исходной записью.

Детальное решение по шагам

1. Модуль: r = sqrt((-7√3)^2 + 7^2) = sqrt(196) = 14.

2. Аргумент:

   • Координаты: x = -7√3 (отрицательно), y = 7 (положительно) — в квадранте II.
   • tan θ = y/x = -1/√3. Это даёт референсный угол 30°.
   • В квадранте II угол равен θ = 180° - 30° = 150°.

3. Тригонометрическая форма: z = 14 [cos 150° + i sin 150°].

4. Преобразование к алгебраической форме: cos 150° = -√3/2, sin 150° = 1/2. z = 14 [(-√3)/2 + i (1/2)] = -7√3 + 7i.

5. Проверка:

   • Реальная часть: -7√3 ≈ -12.124,
   • Мнимая часть: 7.
   • Модуль: sqrt((-12.124)^2 + 7^2) ≈ sqrt(147 + 49) = sqrt(196) = 14. ВсёConsistent.

Чертёж (упрощённая ASCII-схема)

• Ось x направлена вправо, ось y вверх.

• Точка z находится в квадранте II на координатах (-7√3, 7).

• Радиус-вектор z имеет модуль 14 и угол 150° по отношению к положительному направлению оси x.

   y
   ↑
   |      z (-7√3, 7)
   |       •
   |      /|
   |     / | r = 14
   |   /   |
   O──/────┘→ x
      θ = 150°
   (origin O, з. координаты)
  

Итог Полярная форма: z = 14 [cos 150° + i sin 150°]. Эквивалент в алгебраической форме: z = -7√3 + 7i.