x-9/x²-9 - 3/3x-x²

Задача: (x - 9)/(x^2 - 9) - 3/(3x - x^2)

1. Разложим знаменатели:

• x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
• 3x - x^2 = -x(x - 3)

Тогда выражение становится: (x - 9)/[(x - 3)(x + 3)] - 3/[-x(x - 3)] = (x - 9)/[(x - 3)(x + 3)] + 3/[x(x - 3)]

2. Общее основание знаменателя: LCM(x, x - 3, x + 3) = x(x - 3)(x + 3)

Приведём каждую дробь к общему знаменателю:

• (x - 9)/[(x - 3)(x + 3)] = x(x - 9) / [x(x - 3)(x + 3)]
• 3/[x(x - 3)] = 3(x + 3) / [x(x - 3)(x + 3)]

Суммируем числители: x(x - 9) + 3(x + 3) = (x^2 - 9x) + (3x + 9) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

И имеем: [(x - 3)^2] / [x(x - 3)(x + 3)] = (x - 3) / [x(x + 3)], при условии, что можно было поделиться на (x - 3).

3. Условия области определения: изначально недопустимо x^2 - 9 ≠ 0 и 3x - x^2 ≠ 0, то есть x ≠ -3, 0, 3.

После упрощения получаем выражение (x - 3) / [x(x + 3)], но при x = 3 исходное выражение все равно не определено (дырка), хотя предел при x → 3 существует и равен 0.

Ответ: (х - 3) / [x(x + 3)], при этом x ≠ -3, 0, 3.