Задача 7 У Даши на грядке растет 5 георгинов, 10 роз и 15 хризантем, Сколькими способами она может собрать букет для учительницы, если дарить принято нечетное число цветов…

Задача: на грядке Даши растут 5 георгинов, 10 roses и 15 хризантем. Сколькими способами можно собрать букет с нечетным общим числом цветов? (Каждый букет задаётся количеством цветов каждого вида.)

Пояснение и решение

• Обозначим через g, r, c количества георгинов, роз и хризантем в букете. Ограничения: 0 ≤ g ≤ 5, 0 ≤ r ≤ 10, 0 ≤ c ≤ 15. Общее число цветов s = g + r + c должно быть нечетным.

• Пусть F(x) = (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) · (1 + x + … + x^10) · (1 + x + … + x^15). Коэффициенты при x^s в F(x) дают число способов получить суммарное число s цветов.

• Нам нужно суммировать коэффициенты при всех нечетных s. Это можно найти через значения F(1) и F(-1): количество наборов с нечетной суммой = (F(1) − F(-1)) / 2.

• Вычисления:

  • F(1) = (6) · (11) · (16) = 1056 (всего возможных троек без учета четности суммы).
  • F(-1) = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1) · (1 − 1 + … + 1) · (1 − 1 + … + 1) Теперь подставим: • сумма 0..5 при x = −1: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 = 0 (первый множитель) • сумма 0..10 при x = −1: 1 − 1 + … + 1 (11 членов) = 1 (второй множитель; n=10 чётный) • сумма 0..15 при x = −1: 1 − 1 + … + 1 (16 членов) = 0 (третий множитель) Значит F(-1) = 0 · 1 · 0 = 0.

• Следовательно, число вариантов с нечетной суммой равно (1056 − 0) / 2 = 528.

Ответ: 528 способов.