сколькими способами можно представить число 180 в виде произведения трёх натуральных чисел? ( порядок чисел важен)

Задача: сколько существует упорядоченных троек натуральных чисел (a, b, c), таких что a·b·c = 180, при этом порядок важен.

Шаг 1. Разложение числа на простые множители 180 = 2^2 · 3^2 · 5^1.

Шаг 2. Разделение степеней по трём множителям Каждую степень каждого простого делим между a, b, c. Например, для простого 2 степь 2 распишем как i1 + i2 + i3 = 2, где i1, i2, i3 ≥ 0 — степени 2 в a, b, c соответственно. Аналогично для простых 3 и 5.

Для каждого простого отдельно посчитаем число решений таких уравнений в неотрицательных целых:

• Для 2^2: i1 + i2 + i3 = 2. Число решений равно C(2 + 3 − 1, 3 − 1) = C(4, 2) = 6. Примеры распределений: (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1).
• Для 3^2: аналогично — 6 решений.
• Для 5^1: k1 + k2 + k3 = 1. Число решений равно C(1 + 3 − 1, 3 − 1) = C(3, 2) = 3. Примеры распределений: (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

Шаг 3. Объединение независимых выборов Число всех упорядоченных троек равно произведению чисел для каждого простого: 6 (для 2) × 6 (для 3) × 3 (для 5) = 108.

Ответ: 108.