(5х+12) (х²-1)=3х² + 3х

Задача: (5х+12)(х²-1) = 3х² + 3х

Пошаговое решение (для цели "Понять"):

1. Раскрыть скобки слева.

• (5х+12)(х²-1) = (5х+12)х² - (5х+12) = 5х³ + 12х² - 5х - 12.

2. Перенести все члены в одну сторону и привести подобные.

• Исходное уравнение становится: 5х³ + 12х² - 5х - 12 = 3х² + 3х.
• Вычтем правую часть: 5х³ + 12х² - 5х - 12 - 3х² - 3х = 0.
• Получим многочлен: 5х³ + 9х² - 8х - 12 = 0.

3. Поиск рациональных корней.

• Применяем теорему рациональных корней: возможные корни ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 и их дроби с знаменателем 5 (например, ±1/5, ±2/5 и т.д.).
• Пробуем простые значения. При подстановке х = -1 получаем: 5(-1)³ + 9(-1)² - 8(-1) - 12 = -5 + 9 + 8 - 12 = 0.
• Значит, (х + 1) — делитель многочлена.

4. Разложение на множители.

• Разделим 5х³ + 9х² - 8х - 12 на (х + 1) (метод синтетического деления): Коэффициенты: 5, 9, -8, -12. Приносим 5, умножаем на -1: -5, сумма 4; умножаем на -1: -4, сумма -12; умножаем на -1: 12, сумма 0. Получаем остаток 0 и дробь: 5х² + 4х - 12.
• Следовательно, 5х³ + 9х² - 8х - 12 = (х + 1)(5х² + 4х - 12).

5. Факторизация квадратного многочлена.

• 5х² + 4х - 12 можно разложить на линейные множители: 5х² + 4х - 12 = (5х - 6)(х + 2).

6. Полное разложение и корни.

• Итак, 5х³ + 9х² - 8х - 12 = (х + 1)(5х - 6)(х + 2).
• Следовательно, корни уравнения: х = -1, х = 6/5, х = -2.

Проверка (для уверенности):

• х = -1: левая часть = (5(-1)+12)(((-1)²)-1) = 7·0 = 0; правая часть = 3·1 + 3(-1) = 0.
• х = -2: левая часть = (5(-2)+12)((4)-1) = 2·3 = 6; правая часть = 3·4 + 3(-2) = 12 - 6 = 6.
• х = 6/5: левая часть = (18)((11/25)) = 198/25; правая часть = 3·(36/25) + 3·(6/5) = 108/25 + 90/25 = 198/25.

Ответ: х ∈ { -2, -1, 6/5 }.

Если хочешь, могу привести ещё альтернативные способы решения (например, факторизация через grouping или графический подход) или разобрать каждый шаг более подробно.