Задача 3. После первого ярмарочного дня сели два купца свои барыши подсчитывать. Один считал восьмерками, второй - пятерками, и у каждого в остатке выходило одинаковое число - 4.…

Задача: один купец считал выручку восьмерками (то есть остаток при делении на 8 равен 4), второй — пятерками (остаток при делении на 5 равен 4). Их суммарная выручка 150 рублей. Найти величины выручки каждого.

Пошаговое решение

1. Введём переменные:

• пусть первая выручка x удовлетворяет x ≡ 4 (mod 8), значит x = 8a + 4;
• вторая выручка y удовлетворяет y ≡ 4 (mod 5), значит y = 5b + 4.

2. Сумма равна 150: (8a + 4) + (5b + 4) = 150 8a + 5b + 8 = 150 8a + 5b = 142.

3. Решим линейное диофово уравнение 8a + 5b = 142. Работаем по модулю 5: 8a ≡ 142 (mod 5) → 3a ≡ 2 (mod 5). Умножим на обратную к 3 по модулю 5 (кот. 3·2 ≡ 1): a ≡ 4 (mod 5). Запишем a = 5k + 4, где k — целое.

4. Подстановка в уравнение: 8(5k + 4) + 5b = 142 40k + 32 + 5b = 142 5b = 110 − 40k b = 22 − 8k.

5. Ограничения на б и а: должны быть неотрицательными (выручки неотрицательны).

• k = 0 → a = 4, b = 22
• k = 1 → a = 9, b = 14
• k = 2 → a = 14, b = 6
• k = 3 → b = −2 (нельзя)

Значит, есть три допустимых варианта.

6. Приведём значения x и y для каждого варианта:

• Кейс k = 0: x = 8a + 4 = 8·4 + 4 = 36; y = 5b + 4 = 5·22 + 4 = 114. Проверка: 36 mod 8 = 4, 114 mod 5 = 4, сумма 150 — верно.
• Кейс k = 1: x = 8·9 + 4 = 76; y = 5·14 + 4 = 74. Проверка: 76 mod 8 = 4, 74 mod 5 = 4, сумма 150 — верно.
• Кейс k = 2: x = 8·14 + 4 = 116; y = 5·6 + 4 = 34. Проверка: 116 mod 8 = 4, 34 mod 5 = 4, сумма 150 — верно.

Ответ Возможны три распределения выручки, удовлетворяющих условиям:

• (x, y) = (36, 114)
• (x, y) = (76, 74)
• (x, y) = (116, 34)

Каждое из них соответствует правилам: первая сумма делится по 8 с остатком 4, вторая — по 5 с остатком 4, и их сумма равна 150.