2х-7/х+1 + 3х+2/х-1 =7
Цель: Понять задачу и подробно решить её шаг за шагом.
Уравнение: (2x - 7)/(x + 1) + (3x + 2)/(x - 1) = 7 Ограничения домена: x ≠ -1 и x ≠ 1 (знаменатели не могут быть нулём).
Найдём общий знаменатель и сведём к сумме дробей (2x - 7)/(x + 1) + (3x + 2)/(x - 1) = [(2x - 7)(x - 1) + (3x + 2)(x + 1)] / [(x + 1)(x - 1)].
Раскроем скобки в числителе
- (2x - 7)(x - 1) = 2x^2 - 2x - 7x + 7 = 2x^2 - 9x + 7
- (3x + 2)(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2
Сумма числителя: (2x^2 - 9x + 7) + (3x^2 + 5x + 2) = 5x^2 - 4x + 9.
Значит уравнение перепишем так: (5x^2 - 4x + 9) / (x^2 - 1) = 7.
- Умножим обе стороны на знаменатель (учитывая домен) 5x^2 - 4x + 9 = 7(x^2 - 1) = 7x^2 - 7.
Перенесём всё в одну часть: 5x^2 - 4x + 9 - 7x^2 + 7 = 0 -2x^2 - 4x + 16 = 0.
Упростим, умножив на -1: 2x^2 + 4x - 16 = 0 → делим на 2: x^2 + 2x - 8 = 0.
- Найдём корни квадратного уравнения D = 2^2 - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36 x = [-2 ± sqrt(36)] / 2 = [-2 ± 6] / 2
- x1 = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2
- x2 = (-2 - 6)/2 = -8/2 = -4
- Проверка и заключение Проверим каждое полученное значение в исходном уравнении (чтобы не получить недопустимые решения и убедиться, что они действительно удовлетворяют):
Для x = 2: (2·2 - 7)/(2 + 1) + (3·2 + 2)/(2 - 1) = (4 - 7)/3 + (6 + 2)/1 = (-3)/3 + 8 = -1 + 8 = 7. OK.
Для x = -4: (2(-4) - 7)/(-4 + 1) + (3(-4) + 2)/(-4 - 1) = (-8 - 7)/(-3) + (-12 + 2)/(-5) = (-15)/(-3) + (-10)/(-5) = 5 + 2 = 7. OK.
Ограничения домена выполняются: x ≠ -1, 1, а оба корня 2 и -4 допустимы.
Ответ: x = 2 или x = -4.
