Около правильного многоугольника описана окружность, и в этот же многоугольник вписана ещё одна окружность. Площадь кольца, ограниченного этими окружностями, равна 64π. Найдите…

Решение:

1. Обозначим R — радиус описанной окружности (окружности, проходящей через вершины многоугольника), а r — радиус вписанной окружности (апотему). По условию площадь кольца между этими окружностями равна 64π: π(R^2 − r^2) = 64π ⇒ R^2 − r^2 = 64.

2. Для правильного n-угольника центр окружности совпадает с центром вписанной и описанной окружностей. Связь между радиусами такая: r = R cos(π/n). Тогда R^2 − r^2 = R^2(1 − cos^2(π/n)) = R^2 sin^2(π/n).

   Следовательно R^2 sin^2(π/n) = 64 ⇒ (R sin(π/n))^2 = 64 ⇒ R sin(π/n) = 8.

3. Длина стороны правильного n-угольника: s = 2R sin(π/n).

   Из пункта 2 имеем R sin(π/n) = 8, значит s = 2 · 8 = 16.

Ответ: длина стороны многоугольника равна 16 (единиц измерения). Примечание: результат не зависит от количества сторон n.