На сторонах угла P отложены равные отрезки PB и PD.На биссектрисе PC угла P взяты точки K и C так, что PC больше PK. Докажите, что треугольник CKD=CKB Начертить чертеж к задаче
Задача: На сторонах угла P отложены равные отрезки PB и PD (то есть PB = PD). На биссектрисе PC угла P взяты точки K и C так, что PC > PK. Докажите, что треугольник CKD равен треугольнику CKB (CKD = CKB). Начертить чертеж к задаче.
Пояснение и решение
Ключевая идея: так как PB = PD, треугольник PBD является равнобедренным относительно вершины P. Биссектор угла ∠BPD, то есть линия PC, служит осью симметрии для этого равнобедренного треугольника. Следовательно:
- точка B и точка D симметричны относительно оси PC;
- любая точка, лежащая на оси PC, фиксируется при симметрии, поэтому точки K и C (лежащие на PC) остаются на месте;
- отражение относительно PC переводит треугольник CKD в треугольник CKB.
Из этого следует: KD = KB, CK общая сторона у двух треугольников, и угол ∠CKD равен углу ∠CKB (они оба образованы между CK и KD/KB, которые переходят друг в друга под симметрией). Следовательно треугольники CKD и CKB конгруэнтны (их можно получить друг из друга отражением о PC).
Поэтому CKD ≅ CKB.
Кроме того, можно формально указать путь конгруэнции:
- CK общая сторона;
- KD = KB (от зеркального отображения B ↔ D через ось PC);
- ∠CKD = ∠CKB (соответствующие углы при отражении); значит треугольники CKD и CKB конгруэнтны по признаку SAS.
Черчение (как построить рисунок)
Проведите угол с вершиной P двумя лучами PB и PD. Обозначьте точки B на луче PB и D на луче PD так, чтобы PB = PD (одинаковая длина от P до B и до D).
Проведите биссектрису угла ∠BPD. Пусть она обозначается как линия PC (внутри угла).
На биссектрисе PC возьмите две точки K и C так, чтобы PK < PC (то есть K ближе к P, а C дальше).
Приведите в вашей схеме понятие: PC является осью симметрии равнобедренного треугольника PBD (PB = PD). Соответственно B и D симметричны относительно PC.
Отметьте, что K и C лежат на оси PC, то они фиксируются при симметрии. Это означает, что KD = KB и ∠CKD = ∠CKB, а CK совпадает с CK.
По этим фактам треугольники CKD и CKB конгруэнтны.
Итог: треугольник CKD равен треугольнику CKB, как и требовалось.
