"Функция y=f(x) определена на промежутке (−10; 2). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение, если…

Похоже, ты ошибся на этом задании. Давай разберёмся по шагам и покажем, почему правильный ответ -2, а не -4.

Что дано и как это использовать

• Мы знаем график производной f'(x) на промежутке (-10; 2).
• По графику f' положителна на:
  • (-10; -9] и [-5; -2] то есть функция f возрастает на этих отрезках.
• f' отрицательна на:
  • [-9; -5] и [-2; 2] то есть функция f убывает на этих отрезках.
• Значит точки максимума функции по своей природе — это места, где график f' переходит из плюса в минус: это x = -9 и x = -2. Это локальные максимумы. Глобальный максимум на всём промежутке зависит от значений в этих точках и в концах, но можем сравнить только между -9 и -2, потому что поведение между ними задаётся указанной монотонностью.

Учитывая условие f(-4) = f(-9)

• Точка -4 лежит в интервале (-5; -2), где f возрастает. Значит f(-4) находится между значениями на границах этого интервала: f(-5) < f(-4) < f(-2).
• Так как дано f(-4) = f(-9), получаем f(-9) = f(-4).
• Но из монотонности: в интервале (-5; -2) функция возрастает, значит f(-4) < f(-2).
• Следовательно, f(-9) = f(-4) < f(-2).

Вывод

• Значение функции достигается максимально в точке -2 (так как f(-2) больше, чем f(-9) и, соответственно, больше чем f(-4)).
• Поэтому правильный ответ: x = -2.

Почему твой ответ -4 неверен

• В точке -4 значение f равно f(-9) по условию, но это значение меньше максимального значения, которое достигается в -2. Так что -4 не является точкой глобального максимума.

Коротко резюмируем алгоритм на подобных заданиях

• По графику f' определить интервалы возрастания/убывания.
• Найти кандидаты на максимумы: точки перехода f' с + на - (локальные максимумы) и концовые точки.
• Использовать данное равенство значений (f(-4) = f(-9)) иMonotonicity, чтобы сравнить значения в разных критических точках и выбрать глобальный максимум.

Если хочешь, могу привести ещё альтернативный короткий аргумент через сравнение значений по соседним точкам, чтобы закрепить идею.

Пожалуйста, оцень мой ответ лайком или дизлайком.