На ребре DC правильной треугольной пирамиды взята точка М, так что МС=2DM. Докажите, что OM||(ABD), где точка О – центр треугольника АВС.

Дано: тетраэдр ABCD — правильная (регулярная) тетраэдра. На ребре DC взята точка M такая, что MC = 2 DM. Обозначим O как центр треугольника ABC (для равностороннего треугольника ABC этот центр совпадает с его центром масс/центр масс — это также центр описанной и вписанной окружностей, но нам важно то, что O лежит в плоскости ABC и является её центром). Нужно доказать, что OM параллельна плоскости ABD. План решения: воспользоваться координатами. В правдоподобной постановке задачи удобно положить ABC в плоскость z = 0 в виде равностороннего треугольника, центр которого совпадает с началом координат O. Далее выбрать координаты так, чтобы тетраэдр был регулярным (в таком случае проекция вершины D на плоскость ABC совпадает с O и высота подбирается так, чтобы все ребра равны). 1) Координаты базы ABC и точки O - Пусть ABC — вершины равностороннего треугольника со сторонами s на плоскости z = 0, центр которого в точке O = (0, 0, 0). - Можно взять конкретное удобное представление: A = (a, 0, 0), B = (-a/2, (√3/2) a, 0), C = (-a/2, -(√3/2) a, 0). В таком случае центр треугольника ABC совпадает с O = (0, 0, 0). 2) Координаты вершины D для регулярной тетраэдра - Для равных всех рёбер требуется, чтобы AD = AB. - AB = длина ребра основания: AB = a√3. - AD = расстояние между A и D = √( (0 − a)^2 + (0 − 0)^2 + (h − 0)^2 ) = √(a^2 + h^2), где D = (0, 0, h) над центром основания. - Чтобы AD = AB: a^2 + h^2 = 3a^2 ⇒ h^2 = 2a^2 ⇒ h = a√2 (берём положительное значение, т.к. D над плоскостью ABC). Итак, D = (0, 0, h) с h = a√2. 3) Точка M на ребре DC с MC = 2 DM - Вектор DC = C − D = (−a/2, −√3 a/2, 0) − (0, 0, h) = (−a/2, −√3 a/2, −h). - Пусть DM = t·DC, тогда MC = (1 − t)·DC. - Условие MC = 2 DM даёт (1 − t) = 2t ⇒ t = 1/3. - Тогда M = D + t( C − D ) = D + (1/3)DC. Подсчёт: M = (0,0,h) + (1/3)(−a/2, −√3 a/2, −h) = (−a/6, −√3 a/6, h − h/3) = (−a/6, −√3 a/6, (2/3)h). - Подставляя h = a√2: M = (−a/6, −√3 a/6, (2/3) a√2). 4) Вектор OM O = (0, 0, 0), значит OM = M − O = M = (−a/6, −√3 a/6, (2/3) a√2). 5) Нормаль к плоскости ABD - Векторы ребер: AB = B − A = (−3a/2, √3 a/2, 0), AD = D − A = (−a, 0, h). - Вектор, нормальный к плоскости ABD, равен n = AB × AD. Вычислим: AB × AD = ( √3 a h / 2, 3 a h / 2, √3 a^2 / 2 ). Учтём, что h = a√2, тогда n = ( a^2 √6 / 2, (3 a^2 √2) / 2, a^2 √3 / 2 ). 6) Проверка параллельности OM и плоскости ABD - Условие параллельности OM плоскости ABD эквивалентно тому, что OM ⟂ нормаль n плоскости ABD, то есть OM · n = 0. - Подсчитаем скалярное произведение: OM · n = (−a/6)(a^2 √6 / 2) + (−√3 a/6)(3 a^2 √2 / 2) + ( (2/3) a√2 )( a^2 √3 / 2 ). Приведём к общему множителю a^3 и вычислим коэффициенты: OM · n = a^3 [ −√6/12 − 3√6/12 + √6/3 ]. Заметим, что −1/12 − 3/12 = −4/12 = −1/3, следовательно OM · n = a^3 √6 [ −1/3 + 1/3 ] = 0. - Получили OM · n = 0, значит OM ⟂ n, то есть OM параллельно плоскости ABD. 7) Вывод Поскольку в регулярной тетраэдре точка O — центр основания ABC, точка M на ребре DC удовлетворяющая MC = 2DM лежит на таком положении, что вектор OM перпендикулярен нормали к плоскости ABD, следовательно OM параллельна плоскости ABD. Это и требовалось доказать. Дополнительные заметки: - В задаче ключевой момент — использование точного положения точки M (DM:MC = 1:2) вдоль ребра DC и свойства регулярного тетраэдра (D над центром основания O; h = a√2). Это даёт возможность аккуратно вычислить координаты и проверить параллельность. - Поскольку искомое свойство не зависит от конкретного размера тетраэдра, достаточно выбрать любой параметр a > 0 и соответствующее h = a√2.