AC и B D-диаметры окружности с центром O докажите что A,B,C,D,- вершины параллеграмма
Задача: В окружности с центром O точки A и C образуют диаметр AC, а точки B и D образуют диаметр BD. Доказать, что A, B, C, D — вершины параллелограмма.
Решение (пошагово):
- Заметим, что AC и BD являются диаметрами окружности, значит O является серединой каждого из них:
- OA = OC, поэтому O лежит на середине диагонали AC.
- OB = OD, поэтому O лежит на середине диагонали BD.
Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, вершины идёт по окружности в порядке A, B, C, D. Его диагоналями являются AC и BD. По п.1 точка O является серединой обеих диагоналей AC и BD, то есть диагонали ABCD пересекаются в их серединах.
Факт: в выпуклом четырехугольнике диагонали, пересекающиеся в серединах, делят друг друга пополам. Это эквивалентно тому, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, т.е. ABCD — параллелограмм:
- AB ∥ CD и AB = CD
- BC ∥ AD и BC = AD
- Следовательно, ABCD — параллелограмм. В частности, A, B, C, D действительно образуют параллелограмм.
Дополнительное пояснение (альтернативный взгляд через векторы): Пусть вектор OA = a, OB = b. Тогда OC = -a и OD = -b. Тогда:
- AB = B − A = b − a, CD = D − C = (−b) − (−a) = a − b = −(b − a) = −AB, значит AB ∥ CD.
- BC = C − B = (−a) − b = −(a + b), AD = D − A = (−b) − a = −(a + b) = BC, значит BC ∥ AD. Итак, противоположные стороны параллельны, следовательно фигура ABCD — параллелограмм.
Итак, доказано: A, B, C, D являются вершинами параллелограмма.
