(4-x²)(7-x)<0

Задача: (4 - x^2)(7 - x) < 0

Решение по шагам

1. Разложим 4 - x^2 на линейные множители: 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) Значит выражение равно: (2 - x)(2 + x)(7 - x)

2. Найдём нули множителей: 2 - x = 0 → x = 2 2 + x = 0 → x = -2 7 - x = 0 → x = 7 При x = -2, 2, 7 произведение обращается в ноль, условие strict < 0 не выполняется, эти точки исключаем.

3. Построим разбор по промежуткам между этими корнями. В порядке возрастания: -∞, -2, 2, 7, ∞. Рассмотрим знак произведения в каждом промежутке, подставляя произвольное число из этого промежутка:

   -(-∞, -2): возьмём x = -3 (2 - x) > 0, (2 + x) < 0, (7 - x) > 0 Произведение: + · - · + = - Условие выполняется (меньше нуля).

   (-2, 2): возьмём x = 0 (2 - x) > 0, (2 + x) > 0, (7 - x) > 0 Произведение: + · + · + = + Условие не выполняется.

   (2, 7): возьмём x = 3 (2 - x) < 0, (2 + x) > 0, (7 - x) > 0 Произведение: - · + · + = - Условие выполняется.

   (7, ∞): возьмём x = 8 (2 - x) < 0, (2 + x) > 0, (7 - x) < 0 Произведение: - · + · - = + Условие не выполняется.

4. Ответ Решение множества x таких, что (4 - x^2)(7 - x) < 0: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, 7)

Замечание: значения -2, 2 и 7 исключаем, так как в этих точках выражение равно нулю.