построй график функции y=3/x

Вот подробное решение и пошаговое объяснение, как построить график функции y = 3/x. Так как параметры предмет и класс не указаны, подаю общий подход, понятный для средней школы.

1. Что представляет из себя функция

• y = 3/x — это гипербола, две ветви которой лежат в квадрантах I и III (положительный y соответствует положительному x, и наоборот).
• Область определения: x ≠ 0 ( функция не определена при x = 0 ).
• Диапазон: y ≠ 0 ( значение не может быть нулем, потому что 3/x не равно нулю для любого x ).
• Асимптоты: вертикальная x = 0 и горизонтальная y = 0. График стремится к ним, когда x → 0 и когда |x| становится очень большим.
• Пересечения осей: у графика нет точек пересечения с осями координат (он никогда не принимает значение 0).

2. Свойства графика

• Знак: для x > 0 y > 0; для x < 0 y < 0.
• Наклон: производная dy/dx = -3/x^2 < 0 для любого x ≠ 0, значит функция строго убывает на каждом отрезке (−∞, 0) и (0, +∞).
• Поведение при больших и малых x:
  • При x → +∞: y → 0+.
  • При x → −∞: y → 0−.
  • При x → 0+ : y → +∞.
  • При x → 0− : y → −∞.

3. Примеры точек для построения Хорошо взять несколько точек, чтобы точно нарисовать ветви.

• x = 1: y = 3
• x = 2: y = 1.5
• x = 3: y = 1
• x = 0.5: y = 6
• x = 0.25: y = 12
• x = -1: y = -3
• x = -2: y = -1.5
• x = -0.5: y = -6
• x = -0.25: y = -12

4. Как нарисовать по шагам

• Шаг 1. Нарисуйте оси координат и отметьте шкалу (например, по единице в обоих направлениях).
• Шаг 2. Проводите вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 0.
• Шаг 3. Отметьте точки из примеров выше: (1,3), (2,1.5), (3,1), (0.5,6) и их отрицательные аналоги.
• Шаг 4. Соедините точки плавной кривой, соблюдая, что ветвь для x > 0 лежит в первом квадранте и стремится к асимптотам, а ветвь для x < 0 лежит во втором и третьем квадрантах? Направляйтесь так, чтобы на участке x > 0 кривая шла от +∞ при x近0+ к 0+ при x → +∞; на участке x < 0 кривая шла от 0− при x → −∞ к −∞ при x近0−.
• Шаг 5. Проверьте, что график не пересекает оси и что обе ветви не соединяются через x = 0 (там зазор).

5. Визуально: что получится

• Две ветви Hyperbola: одна в квадранте I (x > 0, y > 0), другая в квадранте III (x < 0, y < 0).
• Ветви расходятся к бесконечности near x = 0 и к нулю близко к бесконечности по оси y.
• Нет точек пересечения с осями.

6. Быстрые заметки для запоминания

• График y = a/x имеет асимптоты x = 0 и y = 0.
• Ветви лежат в I и III квадрантах при a > 0 (для a = 3 здесь та же ситуация).
• График симметричен относительно начала координат (функция нечетная: f(-x) = -f(x)).

Если хотите, могу привести небольшой готовый примечательный график или привести код для построения графика в Python (matplotlib) или на калькуляторе.