(ydx)/(cos^2x) +tg*x*dy=0

Задача: (y dx)/(cos^2 x) + tan x dy = 0 Цель и подход: - Это дифференциальное уравнение относительно y(x). Можно решить двумя способами: через отделение переменных, либо как точное уравнение. Обе дороги приводят к одному и тому же решению. Способ 1. Отделение переменных (через dy/dx) 1) Перепишем уравнение, разделив на dx: y / cos^2 x + tan x dy/dx = 0. 2) Выразим dy/dx: dy/dx = - y / (cos^2 x · tan x) = - y / (cos^2 x · sin x / cos x) = - y / (sin x cos x). 3) Разделим переменные: dy / y = - dx / (sin x cos x). 4) Проинtegируем обе стороны. Левую легко: ∫ (1/y) dy = ln|y| + C. Правую перепишем: 1/(sin x cos x) = 2/ sin(2x), поэтому ∫ - dx /(sin x cos x) = ∫ -2 dx / sin(2x). Пусть u = 2x, du = 2 dx. Тогда ∫ -2 dx / sin(2x) = - ∫ du / sin u = - ln| tan(u/2) | + C = - ln| tan x | + C. 5) Сравним интегралы: ln|y| = - ln| tan x | + C. Перепишем: ln| y tan x | = C' ⇒ y tan x = C (где C — произвольная константа). 6) Решение: y = C cot x. Область определения: cos x ≠ 0 и sin x ≠ 0 (чтобы разделение было корректно и чтобы tan x было определено). На отдельных интервалах между точками cos x = 0 и sin x = 0 решение принимается отдельно. Способ 2. Рассмотрим как точное уравнение 1) Запишем M(x,y) dx + N(x) dy = 0, где M = y / cos^2 x, N = tan x. Уравнение эквивалентно M dx + N dy = 0. Проверим условие точности: ∂M/∂y = 1 / cos^2 x, а ∂N/∂x = d/dx (tan x) = sec^2 x = 1 / cos^2 x. Совпадает, значит уравнение точно. 2) Найдём потенциал Φ(x,y), такой что ∂Φ/∂x = M, ∂Φ/∂y = N. Интегрируем по x: Φ = ∫ (y / cos^2 x) dx = y tan x + h(y). 3) Теперь используем условие ∂Φ/∂y = N: ∂Φ/∂y = tan x + h'(y) = tan x ⇒ h'(y) = 0 ⇒ h(y) = const. 4) Значит Φ(x,y) = y tan x = C. Это и есть общее решение. 5) Эквивалентно исходному результату: y tan x = C или y = C cot x. Итог: - Общее решение: y tan x = C (C — произвольная константа). - Или эквивалентно y = C cot x. - Область определения: на интервалах, где cos x ≠ 0 (и при необходимости исключаем точки, где sin x = 0 для корректности разделения переменных).