Задача понятна. Даны углы треугольника: 30°, 135° и третий угол 15° (потому что сумма углов треугольника равна 180°). Сторона, против меньшего угла 30°, равна 4 см. Нужно найти сторону, против большего угла 135°.
Пошаговое решение (с использованием теоремы синусов и проверки через теорему косинусов):
- Обозначим стороны так:
- a — сторона против угла A = 30°; дано a = 4 см.
- b — сторона против угла B = 135°; нужно найти.
- c — сторона против угла C = 15°.
Найдём третий угол:
C = 180° − (A + B) = 180° − (30° + 135°) = 15°.
Используем теорему синусов для нахождения b:
a / sin A = b / sin B.
Отсюда b = a · sin B / sin A.
Значения тригонометрических функций:
- sin A = sin 30° = 1/2
- sin B = sin 135° = sin(45°) = √2/2
Тогда
b = 4 · (√2/2) / (1/2) = 4 · √2 = 4√2 см.
Ответ на основную часть задачи: сторона, лежащая напротив угла 135°, равна 4√2 см (примерно 5,66 см).
- Необязательная проверка с помощью теоремы косинусов (чтобы “прикрепить” её к условию):
С помощью теоремы косинусов для стороны b (против угла B = 135°):
b^2 = a^2 + c^2 − 2ac cos B.
Найдем c через теорему синусов:
c = a · sin C / sin A = 4 · sin 15° / sin 30°.
sin 15° = (√6 − √2)/4, sin 30° = 1/2, значит
c = 4 · [(√6 − √2)/4] / (1/2) = 8 · (√6 − √2)/4 = 2(√6 − √2).
Теперь подставим в формулу:
- a^2 = 16
- c^2 = [2(√6 − √2)]^2 = 32 − 16√3
- cos B = cos 135° = −√2/2
- −2ac cos B = −2 · 4 · 2(√6 − √2) · (−√2/2) = 16√3 − 16
Сложив:
b^2 = 16 + (32 − 16√3) + (16√3 − 16) = 32,
что даёт b = √32 = 4√2 см, совпадающее с результатом через синусы.
Итог:
Сторона, против большего из данных углов, равна 4√2 см (примерно 5,66 см).
