Найти периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 4 см и 9 см
Задача: найти периметр параллелограмма, если биссектриса одного угла делит сторону параллелограмма на отрезки 4 см и 9 см.
Короткая идея:
- Пусть AB = a, AD = BC = b.
- Отрезок BC делится на 4 и 9, значит BC = 4 + 9 = 13, следовательно AD = BC = 13. Значит b = 13.
- Найдём a по условий задачи через геометрическое соотношение: биссектриса угла BAD проходит через точку E на BC, где BE = 4, EC = 9.
- Введём систему координат и воспользуемся тем, что направление биссектрисы угла BAD равно сумме единичных векторов по сторонам AB и AD. Это позволит получить a.
Пошаговое решение:
1) Обозначим стороны: AB = a, AD = BC = b. По условию BE = 4, EC = 9 на стороне BC, значит BC = 13, hence b = 13. Таким образом, AD = 13 и BC = 13.
2) Поставим систему координат:
- A = (0, 0)
- B = (a, 0) вдоль оси x
- D = (b cos θ, b sin θ) = (13 cos θ, 13 sin θ), где θ — угол между AB и AD
- C = B + D = (a + 13 cos θ, 13 sin θ)
3) Точка E лежит на стороне BC так, чтобы BE = 4. Длина BC равна b = 13, поэтому параметр на BC равен t = BE/BC = 4/13. Тогда
E = B + t*(C − B) = (a, 0) + (4/13)*(13 cos θ, 13 sin θ) = (a + 4 cos θ, 4 sin θ).
4) Линия AE — бисектриса угла BAD. Направление бисектрисы равно сумме единичных векторов по сторонам AB и AD:
- along AB: единичный вектор (1, 0)
- along AD: единичный вектор (cos θ, sin θ)
Итого направление бисектрисы: v = (1 + cos θ, sin θ).
Уравнение луча AE: x = t*(1 + cos θ), y = t*(sin θ).
5) Точка E лежит на AE, значит существуют такие t, что
- E_x = a + 4 cos θ = t*(1 + cos θ)
- E_y = 4 sin θ = t*(sin θ)
Поскольку sin θ ≠ 0 (параллелограмм ненулевой), из уравнения y имеем t = 4. Подставим в первое уравнение:
a + 4 cos θ = 4*(1 + cos θ) = 4 + 4 cos θ
Отсюда a = 4.
Следовательно AB = 4 см, AD = 13 см, BC = 13 см.
6) Периметр параллелограмма:
P = 2*(AB + BC) = 2*(4 + 13) = 34 см.
Ответ: периметр параллелограмма равен 34 см.
