Давайте решим каждую задачу шаг за шагом, преобразуя дроби и записывая итоговые несократимые дроби.
1. **Задача:**
\[
\frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 16}
\]
Сначала вычислим значения в числителе и знаменателе:
\[
4 \cdot 5 = 20, \quad 25 \cdot 16 = 400
\]
Теперь дробь выглядит так:
\[
\frac{20}{400}
\]
Далее сократим дробь:
\[
20 \div 20 = 1, \quad 400 \div 20 = 20
\]
Итак, ответ:
\[
1/20
\]
2. **Задача:**
\[
\frac{12 \cdot 3}{14 \cdot 9}
\]
Вычислим значения:
\[
12 \cdot 3 = 36, \quad 14 \cdot 9 = 126
\]
Дробь:
\[
\frac{36}{126}
\]
Сократим дробь:
\[
36 \div 18 = 2, \quad 126 \div 18 = 7
\]
Ответ:
\[
2/7
\]
3. **Задача:**
\[
\frac{1 \cdot 7}{28 \cdot 2}
\]
Вычислим значения:
\[
1 \cdot 7 = 7, \quad 28 \cdot 2 = 56
\]
Дробь:
\[
\frac{7}{56}
\]
Сократим:
\[
7 \div 7 = 1, \quad 56 \div 7 = 8
\]
Ответ:
\[
1/8
\]
4. **Задача:**
\[
\frac{16 \cdot 14 \cdot 3}{32 \cdot 15 \cdot 7}
\]
Вычислим значения:
\[
16 \cdot 14 \cdot 3 = 672, \quad 32 \cdot 15 \cdot 7 = 3360
\]
Дробь:
\[
\frac{672}{3360}
\]
Сократим:
\[
672 \div 336 = 2, \quad 3360 \div 336 = 10
\]
Ответ:
\[
2/10 \rightarrow 1/5 \text{ (после сокращения)}
\]
5. **Задача:**
\[
\frac{24 \cdot 6}{12 \cdot 13 \cdot 24}
\]
Вычислим значения:
\[
24 \cdot 6 = 144, \quad 12 \cdot 13 \cdot 24 = 3744
\]
Дробь:
\[
\frac{144}{3744}
\]
Сократим:
\[
144 \div 144 = 1, \quad 3744 \div 144 = 26
\]
Ответ:
\[
1/26
\]
6. **Задача:**
\[
\frac{2 \cdot 6 \cdot 10}{5 \cdot 16 \cdot 21}
\]
Вычислим значения:
\[
2 \cdot 6 \cdot 10 = 120, \quad 5 \cdot 16 \cdot 21 = 1680
\]
Дробь:
\[
\frac{120}{1680}
\]
Сократим:
\[
120 \div 120 = 1, \quad 1680 \div 120 = 14
\]
Ответ:
\[
1/14
\]
7. **Задача:**
\[
\frac{5 \cdot 9 \cdot 45}{63 \cdot 125}
\]
Вычислим значения:
\[
5 \cdot 9 \cdot 45 = 2025, \quad 63 \cdot 125 = 7875
\]
Дробь:
\[
\frac{2025}{7875}
\]
Сократим:
\[
2025 \div 675 = 3, \quad 7875 \div 675 = 11.666 \text{ (делается проще до целого числа)}
\]
Ответ:
\[
3/11
\]
8. **Задача:**
\[
\frac{20 \cdot 55 \cdot 13}{52 \cdot 110 \cdot 7}
\]
Вычислим значения:
\[
20 \cdot 55 \cdot 13 = 14300, \quad 52 \cdot 110 \cdot 7 = 40040
\]
Дробь:
\[
\frac{14300}{40040}
\]
Сократим:
\[
14300 \div 14300 = 1, \quad 40040 \div 14300 = 2.8
\]
Ответ:
\[
\text{приблизительно } 1/2.8 \text{ (переделываем к несократимой форме)}
\]
Таким образом, итоговые результаты:
1. **1/20**
2. **2/7**
3. **1/8**
4. **1/5**
5. **1/26**
6. **1/14**
7. **3/11**
8. **1/2.8** (или уточнить сокращение)
Ниже подробное решение по задачам 1–8 с пошаговым объяснением. Все итоговые дроби приведены к несократимой форме.
1) Задача: (4·5)/(25·16)
- Числитель: 4·5 = 20; знаменатель: 25·16 = 400.
- Дробь: 20/400. Найдём НОД(20, 400) = 20.
- Сокращение: (20÷20) / (400÷20) = 1/20.
- Ответ: 1/20.
Замечание по альтернативному способу: можно сократить заранее cross-cancellation:
- gcd(4,16)=4 → 4/16 превращается в 1/4;
- gcd(5,25)=5 → 5/25 превращается в 1/5;
- остаётся (1·1)/(4·5) = 1/20.
2) Задача: (12·3)/(14·9)
- Числитель: 12·3 = 36; знаменатель: 14·9 = 126.
- Дробь: 36/126. НОД(36,126) = 18.
- Сокращение: (36÷18) / (126÷18) = 2/7.
- Ответ: 2/7.
(Можно также выполнить частичное сокращение: gcd(12,9)=3 → 4·3 / (14·3) и затем gcd(4,14)=2 → 2/7.)
3) Задача: (1·7)/(28·2)
- Числитель: 1·7 = 7; знаменатель: 28·2 = 56.
- Дробь: 7/56. НОД(7,56) = 7.
- Сокращение: (7÷7) / (56÷7) = 1/8.
- Ответ: 1/8.
4) Задача: (16·14·3)/(32·15·7)
- Вариант A (мгновенная отмена): сократим до минимума:
- 16 и 32: gcd(16,32)=16 → 16/32 превращается в 1/2
- 14 и 7: gcd(14,7)=7 → 14/7 превращается в 2/1
- Остальные множители: 3 и 15 остаются
Итого остаётся (1·2·3)/(2·15·1) = 6/30.
Далее gcd(6,30)=6 → 1/5.
- Вариант B (через произведения и gcd): 672/3360, gcd = 672 → 1/5.
- Ответ: 1/5.
5) Задача: (24·6)/(12·13·24)
- Здесь можно сразу сократить общую единицу:
24 в числителе и знаменателе: (24·6)/(12·13·24) = 6/(12·13) = 6/156.
- Далее gcd(6,156) = 6 → (6÷6)/(156÷6) = 1/26.
- Ответ: 1/26.
6) Задача: (2·6·10)/(5·16·21)
- Вариант A (сокращение по числителям/знаменателям):
- 10 и 5 → gcd(10,5)=5: 10→2, 5→1 → остается (2·6·2)/(1·16·21) = 24/336.
- gcd(24,336) = 24 → (24÷24)/(336÷24) = 1/14.
- Ответ: 1/14.
7) Задача: (5·9·45)/(63·125)
- Вариант A (мгновенная отмена):
- gcd(9,63)=9: 9→1, 63→7 → становится (5·1·45)/(7·125) = 225/875.
- gcd(225,875) = 25: 225→9, 875→35 → 9/35.
- Ответ: 9/35.
Важно: здесь ошибка в исходном примере, где пытались поделить на 675. Правильное сокращение даёт 9/35, а не 3/11.
8) Задача: (20·55·13)/(52·110·7)
- Вариант A (кросс- cancelling):
- gcd(20,52)=4: 20→5, 52→13 → получаем (5·55·13)/(13·110·7)
- 13 в числителе и знаменателе сокращаются: 13 → 1, оставшееся (5·55)/(110·7)
- gcd(55,110)=55? Нет, проще: gcd(55,110)=55, но здесь уже 110 остаётся. Можно ещё разделить на 5:
(5·55) = 275; (110·7) = 770; gcd(275,770) = 55 → 275÷55 = 5, 770÷55 = 14
- Итог: 5/14.
- Вариант B (построчно через gcd): можно следующим образом: 20/52 → 5/13; 55/110 → 1/2; остаётся (5·1·13)/(13·2·7) → 5/(2·7) = 5/14.
- Ответ: 5/14.
Итоговые ответы по всем задачам:
1) 1/20
2) 2/7
3) 1/8
4) 1/5
5) 1/26
6) 1/14
7) 9/35
8) 5/14
Дополнение:
- В задачах 7 и 8 критично использовать корректное сокращение; неправильные дроби в оригинальном тексте для 7-й и 8-й задач были допущены из-за неверного деления на неподходящие множители.
- Чтобы избегать таких ошибок, полезно выполнять сокращение на уровне простых множителей (gcd) прежде, чем перемножать все числа, либо сразу находить кратчайшие пары числитель/знаменатель для кросс-сокращения.
