3. Найдите множества истинности следующих предикатов, заданных на множестве всех точек плоскости (А, В и С различные фиксированные точки плоскости, / фиксированная прямая плоскости): а) Отрезок [АВ] виден из точки Х под прямым углом; б) Точка Х располагается по одну сторону с точкой А от прямой (предполагается, что точка А не лежит на прямой 1); и В; в) Точка Х располагается на прямой / и одинаково удалена от точек А г) Точка Х симметрична с некоторой точкой отрезка [АВ] от носительно точки С; д) Точка Х равноудалена от точек А и В.

Разберём задачу по пунктам. Мы считаем, что A, B и C – три фиксированные различные точки на плоскости, а л – фиксированная прямая. Предикаты записаны так, чтобы их множество истинности было понятно геометрически. a) Отрезок [AB] виден из точки X под прямым углом Интерпретация: угол AXB равен 90°. По теореме Фалеса множество точек X, из которых отрезок AB виден под прямым углом, лежит на окружности с диаметром AB (исключая точки A и B). Множество истинности: окружность с диаметром AB (центр – середина M отрезка AB), радиус R = |AB|/2. В точке A и B предикат не определён, поэтому их можно исключить из множества. Дополнительно: аналитически, X удовлетворяет (A − X)·(B − X) = 0, что эквивалентно |X − M| = |AB|/2. b) Точка X располагается по одну сторону с точкой A от прямой l Условие: A не лежит на l, поэтому у прямой l есть две полуплоскости, и нужна та половина-plane, которая содержит A. Множество истинности – это открытая полуплоскость по ту сторону от l, в которую принадлежит A (то есть X не лежит на l, и знак расстояния от l совпадает с знаком расстояния A до l). Множество истинности: полуплоскость H = { X : ориентированное расстояние от l до X имеет тот же знак, что и ориентированное расстояние от l до A }. Признать: граница l не входит в множество. в) Точка X располагается на прямой l и одинаково удалена от точек A и B Интерпретация: X лежит на пряной l и XA = XB. Множество истинности: пересечение прямой l с перпендикулярной бисектрисой отрезка AB. То есть X ∈ l ∩ Γ, где Γ — бисектриса отрезка AB (линия, состоящая из точек равноудалённых от A и B). Замечания: - Если l пересекает Γ, то множество состоит из одной точки (точка пересечения). - Если l совпадает с Γ, множество — вся прямая l. - Если l параллельна Γ и не пересекает её, множество пусто. г) Точка X симметрична с некоторой точкой отрезка [AB] относительно точки C Здесь имеется центральная симметрия вокруг точки C: X является изображением некоторой Y ∈ AB под симметрией S_C. Множество истинности: образ AB под симметрией вокруг C. Это просто отрезок A'B', где A' и B' – изображения A и B при симметрии относительно C (A' = 2C − A, B' = 2C − B). Таким образом, множество истинности равно отрезку A'B'. д) Точка X равноудалена от точек A и B Интерпретация: XA = XB. Множество истинности: перпендикулярная бисектриса отрезка AB — прямая, проходящая через середину M AB и перпендикулярная AB. Это все точки равноудалённые от A и B. Аналитически: множество состоит из всех (x,y) удовлетворяющих (x − xA)^2 + (y − yA)^2 = (x − xB)^2 + (y − yB)^2, что эквивалентно уравнению перпендикулярной бисектрисы. Если нужно, можно привести явные координаты: пусть A(x1,y1), B(x2,y2). Тогда уравнение бисектрисы получается так: 2(x2 − x1)x + 2(y2 − y1)y = x2^2 + y2^2 − x1^2 − y1^2. Это уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через её середину.