X⁴-4x²-45=0

Задача: x^4 - 4x^2 - 45 = 0 Пошаговое решение (для средней школы, метод «бикубический»): 1) Признать biquadratic структуру - В выражении присутствуют только квадраты степеней: x^4 и x^2. Это позволяет заменить переменную: пусть y = x^2. - Тогда уравнение превращается в квадратное: y^2 - 4y - 45 = 0. 2) Рассчитать корни квадратного уравнения для y - Дискриминант: D = (-4)^2 - 4·1·(-45) = 16 + 180 = 196. - Корни y: y = [4 ± sqrt(196)] / 2 = [4 ± 14] / 2. - Получаем y1 = (4 + 14)/2 = 18/2 = 9, и y2 = (4 - 14)/2 = -10/2 = -5. 3) Возвращаемся к x - Так как y = x^2, имеем две ветви: - x^2 = 9 ⇒ x = ±3. - x^2 = -5 ⇒ x = ± i√5 (комплексные корни; если работать только с действительными числами, этот вариант не даёт решений). 4) Альтернативный способ — разложение на множители - Мы можем разложить так: x^4 - 4x^2 - 45 = (x^2 + p)(x^2 + q), где pq = -45 и p + q = -4. - Решение: p = -9, q = 5. Тогда x^4 - 4x^2 - 45 = (x^2 - 9)(x^2 + 5). - Отсюда те же корни: - x^2 - 9 = 0 ⇒ x = ±3. - x^2 + 5 = 0 ⇒ x = ± i√5. Итог: - Реальные решения: x = -3 и x = 3. - Полные (с комплексными числами): x = -3, 3, -i√5, i√5. Контроль: - Подстановка в исходное уравнение даст ноль, например, для x = 3: 3^4 - 4·3^2 - 45 = 81 - 36 - 45 = 0.