Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину М стороны АВ и пересека-ет сторону ВС в точке № так, что BN : NC = 2 : 7. Найдите…
Окружность, построенная на стороне АС треугольника АВС как на диаметре, проходит через середину М стороны АВ и пересека-ет сторону ВС в точке № так, что BN : NC = 2 : 7. Найдите отрезок М№, если AC = 6 см.
Задача решается координатным способом.
- Введём систему координат:
- Пусть A и C — конца диаметра окружности диаметром AC = 6 см.
- Поместим A = (-3, 0), C = (3, 0). Тогда окружность имеет уравнение x^2 + y^2 = 9.
Обозначим точку M на окружности как M = (x, y) с x^2 + y^2 = 9. Так как M — середина AB, то B — отражение A через M: B = 2M − A = (2x + 3, 2y).
Точка N — пересечение BC с окружностью (помимо C). По условию BN:NC = 2:7. Тогда по формуле внутреннего деления: N = ( (7B + 2C) / 9 ). Вычислим координаты N:
- x-компонента: x_N = (7(2x + 3) + 2·3) / 9 = (14x + 27) / 9,
- y-компонента: y_N = (7·2y + 2·0) / 9 = (14y) / 9.
- N лежит на окружности, следовательно x_N^2 + y_N^2 = 9. Подставим x^2 + y^2 = 9 (y^2 = 9 − x^2): (14x + 27)^2/81 + (14y)^2/81 = 9 (14x + 27)^2 + 196y^2 = 729 (14x + 27)^2 + 196(9 − x^2) = 729.
Раскроем и упростим: 196x^2 + 756x + 729 + 1764 − 196x^2 = 729 756x + 2493 = 729 756x = −1764 x = −1764/756 = −7/3.
Тогда y^2 = 9 − x^2 = 9 − 49/9 = 32/9, следовательно y = ± 4√2 / 3.
- Найдём координаты N. Подставим x = −7/3 и y = ± 4√2/3:
- x_N = (14x + 27)/9 = (14(−7/3) + 27)/9 = (−98/3 + 27)/9 = (−17/3)/9 = −17/27,
- y_N = (14y)/9 = ± (14 · 4√2/3) / 9 = ± 56√2 / 27.
- Теперь найдём MN. Разности: dx = x − x_N = (−7/3) − (−17/27) = −46/27, dy = y − y_N = ±(4√2/3) − ±(56√2/27) = ±√2(4/3 − 56/27) = ∓ 20√2/27.
Тогда MN^2 = dx^2 + dy^2 = (46/27)^2 + (20√2/27)^2 = (2116 + 800) / 729 = 2916 / 729 = 4.
Следовательно, MN = 2.
Ответ: MN = 2 см.
Примечание. В ответе учитывается, что существует две симметричные позиции M (над и под осью x), но MN остаётся одинаковым.
