построить график функции y = x² + 2X - 3

Классная задача на график квадратной функции. Ниже — подробное решение и объяснения.

Цель: понятие графика, все шаги ясно и по порядку.

Задача: построить график y = x^2 + 2x - 3

1. Приведение к вершине (форме параболы)

• Перепишем квадратичное выражение в форму вершины через completing the square: y = x^2 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4
• Получили форму y = (x + 1)^2 - 4.

2. Вершина параболы и ось симметрии

• Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a). Для уравнения y = ax^2 + bx + c здесь a = 1, b = 2, поэтому x_vertex = -2/(2·1) = -1.
• Значение на вершине: y_vertex = y(-1) = (-1 + 1)^2 - 4 = 0^2 - 4 = -4.
• Следовательно, вершина графика: (-1, -4).
• Ось симметрии: x = -1.
• Парабола открывается вверх (потому что a > 0).

3. Пересечения с осями

• С y-выходом (осью y) получаем подстановку x = 0: y(0) = 0^2 + 2·0 - 3 = -3. Следовательно, точка пересечения с осью y: (0, -3).
• Пересечения с осью x (задаём y = 0): x^2 + 2x - 3 = 0 Факторы: (x + 3)(x - 1) = 0 Значит, x = -3 и x = 1. Точки пересечения с осью x: (-3, 0) и (1, 0).

4. Примеры дополнительных точек (для построения гладкой кривой)

• Выберем несколько значений x и найдём y: x = -4: y = 16 - 8 - 3 = 5 x = -2: y = 4 - 4 - 3 = -3 x = 0: y = -3 x = 2: y = 4 + 4 - 3 = 5 Эти точки хорошо демонстрируют симметрию вокруг x = -1 и форму parabola.

5. График и его характеристика

• График — парабола, открытая вверх, симметрична относительно прямой x = -1.
• Вершина: (-1, -4) — точка минимума.
• Ось симметрии: x = -1.
• Пересечения:
  • с осью y: (0, -3)
  • с осью x: (-3, 0) и (1, 0)
• Область значений функции (множество значений y): y ≥ -4.
• Область определения: все действительные числа.

6. Краткое резюме (для построения на чертеже)

• Переместить график y = x^2 влево на 1 и вниз на 4 единицы, получим y = (x + 1)^2 - 4.
• Вершина этой параболы — (-1, -4); ось симметрии — x = -1.
• Точки пересечения с осями: x-Intercepts (-3, 0) и (1, 0); y-Intercept (0, -3).
• Парабола симметрична относительно x = -1 и возрастает слева направо за пределами вершины.

Если хочешь, могу привести чертёж примерной сеткой или дать набор точек для печати на графике.