№5" Точки М, N и Р лежат на сторонах АВ, ВС, АС соответственно треугольника АВС причем AM:AB=BN:BC=CP:CA=1:3. Площадь треугольника MNP равна 15. Найдите площадь треугольника АВС.

Задача: AM:AB = BN:BC = CP:CA = 1:3. Площадь MNP дана равной 15. Найдите площадь ABC. Решение (пошагово): 1) Выберем удобные координаты. Пусть A = (0,0), B = (3,0), C = (0,3). Тогда площадь треугольника ABC равна: S(ABC) = 1/2 * |det(B−A, C−A)| = 1/2 * |det((3,0),(0,3))| = 1/2 * (3*3) = 9/2. 2) Найдём точки M, N, P на сторонах: - M лежит на AB и AM:AB = 1:3, значит AM = AB/3. Так как AB = 3, AM = 1. От A к B идём по x, поэтому M = (1, 0). - N лежит на BC и BN:BC = 1:3, значит BN = BC/3. Нормально: N = B + (1/3)(C − B) = (3,0) + (1/3)(−3,3) = (2,1). - P лежит на CA и CP:CA = 1:3, значит CP = CA/3. Nа CA идём от C к A, поэтому P = C + (1/3)(A − C) = (0,3) + (1/3)(0,−3) = (0,2). 3) Найдём площадь треугольника MNP по формуле площади через координаты: M = (1,0), N = (2,1), P = (0,2). S(MNP) = 1/2 | x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2) | = 1/2 | 1*(1−2) + 2*(2−0) + 0*(0−1) | = 1/2 | −1 + 4 + 0 | = 1/2 * 3 = 3/2. 4) Соотношение площадей: S(MNP) / S(ABC) = (3/2) / (9/2) = 1/3. Значит S(ABC) = 3 * S(MNP). 5) По условию S(MNP) = 15, значит S(ABC) = 3 * 15 = 45. Ответ: площадь треугольника ABC равна 45. Примечание: полученное соотношение S(MNP) : S(ABC) = 1:3 не зависит от формы треугольника (это следует из аффинной инвариантности при фиксированных долях деления сторон).