В ходе расследования по делу о взбесившихся хищниках был обнаружен днев- ник Нюши. На первой странице было написано: «В этом дневнике ровно 2 неверных утверждения». На второй странице было написано: «В этом дневнике ровно 3 невер- ных утверждения», на третьей — «В этом дневнике ровно 4 неверных утверждения, и т. д., на девяносто девятой — «В этом дневнике ровно 100 неверных утверждений». Ничего другого в нем не написано. А есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

Да. Единственное верное утверждение — на 97-й странице. Пошагово: - Пусть F — число неверных утверждений в дневнике. Всего 99 утверждений (с 1-й по 99-ю). - Утверждение на странице i (где i от 1 до 99) гласит: «В этом дневнике ровно F неверных утверждений», где F должно равняться i+1. - Значит страница i верна тогда и только тогда, когда F = i+1. Так что верных утверждений может быть не более одного (разные страницы требуют разные значения F). - Пусть T — число верных утверждений. Если F ∈ {2, 3, ..., 99}, то существует ровно одна such страница, значит T = 1. Тогда F = 99 - T = 98. Проверяем: F = 98 соответствует i = F - 1 = 97. То есть единственное верное утверждение — на 97-й странице. - Проверка для других случаев: если T = 0, то F = 99, но тогда страница с i+1 = F (то есть i = 98) была бы истинной, противоречие. Значит других вариантов нет. Итак, есть ровно одно верное утверждение — на странице 97: «В этом дневнике ровно 98 неверных утверждений»; остальные страницы ложны.