log_2(2 - x) = log_2(2 - 3x) + 1

Задача: log_2(2 - x) = log_2(2 - 3x) + 1

Алгоритм решения, учитывая цель "Понять":

1. Область определения

• Поскольку в логарифмах аргументы должны быть положительными: 2 - x > 0 → x < 2 2 - 3x > 0 → x < 2/3
• Следовательно, допустимы только такие x, что x < 2/3.

2. Перепишем уравнение с помощью свойств логарифмов

• log_2(2 - x) - log_2(2 - 3x) = 1
• Используя log(a) - log(b) = log(a/b): log_2((2 - x)/(2 - 3x)) = 1

3. Возведение в степень (основание логарифма 2)

• (2 - x)/(2 - 3x) = 2^1 = 2

4. Решение линейного уравнения

• 2 - x = 2(2 - 3x) = 4 - 6x
• Переносим члены: -x + 6x = 4 - 2 → 5x = 2 → x = 2/5

5. Проверка удовлетворяет ли решение области

• x = 2/5 = 0.4 < 2/3, условие выполняется.

6. Проверка в исходном уравнении

• Левый аргумент: 2 - x = 2 - 2/5 = 8/5 → log_2(8/5)
• Правый аргумент: 2 - 3x = 2 - 6/5 = 4/5 → log_2(4/5) + 1
• log_2(8/5) = log_2(8) - log_2(5) = 3 - log_2(5) log_2(4/5) + 1 = (log_2(4) - log_2(5)) + 1 = (2 - log_2(5)) + 1 = 3 - log_2(5)
• Оба равны, значит x = 2/5 является верным решением.

Ответ: x = 2/5.