В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой,проведённым из вершины прямого угла,равен 16°. Найдите меньший из двух острых угол. Ответ дайте в градусах
Задача: В прямоугольном треугольнике угол между высотой AH (из вершины прямого угла A на сторону BC) и биссектрисой AK (из той же вершины A) равен 16°. Найдите меньший из двух острых углов треугольника.
Пусть треугольник ABC прямоугольный в A: ∠A = 90°, AH — высота на BC, AK — биссектриса ∠A.
Заметим, что биссектриса из прямого угла делит угол A на две равные части по 45°: ∠BAK = ∠KAC = 45°.
Найдём угол, который высота AH образует с AB. В прямоугольной системе координат можно без потери общности положить AB вдоль оси x, AC вдоль оси y. Тогда угол ∠BAH действительно равен углу ∠ACB = угол C, потому что тангенс угла C равен отношению длин катетов: tan C = AB/AC, а наклон AH к оси x равен b/c, то есть tan ∠BAH = AB/AC = tan C. Значит: ∠BAH = C.
Угол между AH и AK равен разности их углов с AB: ∠HAK = |∠BAK − ∠BAH| = |45° − C|.
По условию, ∠HAK = 16°. Значит |45° − C| = 16°, откуда C = 29° или C = 61°.
- Острые углы треугольника:
- если C = 29°, то B = 90° − C = 61°;
- если C = 61°, то B = 29°.
В любом случае меньший острый угол треугольника равен 29°.
Ответ: 29°.
