Точка О является серединой стороны CD квадрата АВCD. Радиус окружности с центром в точке О, проходящей через вершину А, равен 2√5. Найдите площадь квадрата ABCD.

Ниже подробное решение.

Дано: АΒCD — квадрат. Точка O — середина стороны CD. Радиус окружности с центром в O, проходящей через A, равен 2√5. Нужно найти площадь квадрата.

1. Пусть сторона квадрата равна a. Разместим вершины так: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a). Тогда середина стороны CD — O((a+0)/2, a) = (a/2, a).

2. Расстояние OA задаётся как расстояние между A(0,0) и O(a/2, a): OA^2 = (a/2)^2 + a^2 = a^2/4 + a^2 = 5a^2/4.

3. По условию OA = 2√5, значит OA^2 = (2√5)^2 = 20. Получаем: 5a^2/4 = 20 → a^2 = 20 · 4 / 5 = 16 → a = 4 (положительное значение стороны).

4. Площадь квадрата S = a^2 = 16.

Проверка: если a = 4, то O = (2, 4), A = (0,0), OA = √(2^2 + 4^2) = √(4+16) = √20 = 2√5, что совпадает с данными.

Ответ: площадь квадрата ABCD равна 16.