3sin²x + sinx cosx = 2cos²x

Задача: 3 sin^2 x + sin x cos x = 2 cos^2 x Цель: понять решение с пошаговыми объяснениями (для алгебры 10 класса). Пошаговое решение 1) Проверка на cos x = 0 - Пусть cos x = 0. Тогда cos^2 x = 0, sin^2 x = 1. - Подстановка: левая часть = 3·1 + sin x·0 = 3, правая часть = 2·0 = 0. 3 ≠ 0, следовательно, cos x = 0 не дает решения. - Это значит, что можно безопасно делить на cos^2 x, так как решения не требуют cos x = 0. 2) Приведение уравнения к выражению через tan x - Разделим обе стороны на cos^2 x: (3 sin^2 x)/(cos^2 x) + (sin x cos x)/(cos^2 x) = (2 cos^2 x)/(cos^2 x) - Это даёт: 3 tan^2 x + tan x = 2. - Обозначим t = tan x. Тогда получаем квадратное уравнение: 3 t^2 + t - 2 = 0. 3) Решение квадратного уравнения - Дискриминант: D = 1 + 24 = 25, корни: t = [-1 ± √25] / (2·3) = (-1 ± 5) / 6. - Следовательно, два решения: - t1 = (4)/6 = 2/3 - t2 = (-6)/6 = -1 4) Перевод обратно на x - Для tan x = 2/3: x = arctan(2/3) + kπ, где k ∈ Z. Приближённо: arctan(2/3) ≈ 0.588 rad ≈ 33.69°. - Для tan x = -1: x = -π/4 + kπ, где k ∈ Z. (Эквивалентно x ≡ 3π/4 mod π, но удобнее оставить как -π/4 + kπ.) 5) Итоговое решение Множество решений: - x = arctan(2/3) + kπ, k ∈ Z - или x = -π/4 + kπ, k ∈ Z Примечания - Можно записать численно: x ≈ 0.588 + kπ или x ≈ -0.785 + kπ, при любом целочисленном k. - Все решения вещественные, поскольку мы рассматривали все x ∈ R. Если хотите, могу привести проверку подстановкой под конкретные значения x из полученных семейств решений.