Симметричную монету бросают 13 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 7 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 10 орлов»? почему ответ 6 а не 36
Задача: симметричную монету бросают 13 раз. Во сколько раз вероятность выпадет ровно 7 орлов больше вероятности выпадет ровно 10 орлов? почему ответ 6 а не 36.
Решение
Пусть X — число орлов в 13 бросках симметричной монеты. Тогда X ~ Binomial(n=13, p=1/2). Вероятность получить ровно k орлов: P(X = k) = C(13, k) / 2^13.
Нам нужно найти соотношение P(X=7) и P(X=10): P(X=7) / P(X=10) = [C(13,7)/2^13] / [C(13,10)/2^13] = C(13,7) / C(13,10).
Учитывая симметрию биномиального распределения и свойства сочетаний: C(13,7) = C(13,6) и C(13,10) = C(13,3). Значит ratio = C(13,6) / C(13,3) = [13!/(6!7!)] / [13!/(3!10!)] = (10! · 3!) / (7! · 6!).
Упростим: 10!/7! = 10·9·8 = 720 3!/6! = 6/720 = 1/120 Тогда (10! · 3!) / (7! · 6!) = 720 · (1/120) = 6.
Альтернативно численно: C(13,7) = 1716, C(13,10) = 286, поэтому ratio = 1716 / 286 = 6.
Числовые вероятности: P(X=7) = 1716 / 8192 ≈ 0.2097 P(X=10) = 286 / 8192 ≈ 0.0349 Их отношение ≈ 0.2097 / 0.0349 = 6.
Заключение Вероятность выпадет ровно 7 орлов в 6 раз больше, чем вероятность выпадет ровно 10 орлов. Ответ 6 получается из отношения биномиальных коэффициентов: C(13,7)/C(13,10) = 6, а не 36, потому что именно количество благоприятных исходов для каждого случая задаётся этими сочетаниями, и их отношение даёт именно 6.
