(x - y)/(x + y) + 6 * (x + y)/(x - y) = 5; xy = - 2

Задача: (x - y)/(x + y) + 6·(x + y)/(x - y) = 5, при условии xy = -2. Найти пары (x, y). Пояснение по шагам 1) Введём замену: пусть t = (x - y)/(x + y). Тогда второй член можно записать как 6/(t). Получаем уравнение t + 6/t = 5, где t ≠ 0. 2) Приведём к квадратному уравнению: t^2 + 6 = 5t → t^2 - 5t + 6 = 0. Факторизуем: (t - 2)(t - 3) = 0 → t = 2 или t = 3. 3) Рассмотрим каждый случай отдельно и найдём отношение x и y, затем учтём условие xy = -2. - Случай 1: t = 2. (x - y) = 2(x + y) → x - y = 2x + 2y → -x = 3y → x = -3y. Подставим в xy = -2: (-3y)·y = -2 → -3y^2 = -2 → y^2 = 2/3 → y = ±√(2/3) = ±√6/3. Тогда x = -3y = ∓√6. Пары: (x, y) = (-√6, √6/3) и (√6, -√6/3). - Случай 2: t = 3. (x - y) = 3(x + y) → x - y = 3x + 3y → -2x = 4y → x = -2y. Подставим в xy = -2: (-2y)·y = -2 → -2y^2 = -2 → y^2 = 1 → y = ±1. Тогда x = -2y: для y = 1 получаем x = -2; для y = -1 получаем x = 2. Пары: (x, y) = (-2, 1) и (2, -1). 4) Ответ Все решения системы: - (x, y) = (-√6, √6/3) - (x, y) = (√6, -√6/3) - (x, y) = (-2, 1) - (x, y) = (2, -1) Проверка (необязательная, но полезная): подставьте любую пару в исходное выражение — будет равно 5, например для (2, -1): (x - y)/(x + y) = (2 - (-1))/(2 + (-1)) = 3/1 = 3; (x + y)/(x - y) = (2 + (-1))/(2 - (-1)) = 1/3; 3 + 6·(1/3) = 3 + 2 = 5. Все остальные пары аналогично удовлетворяют исходному уравнению и условию xy = -2. Замечание по домену: нужно, чтобы x + y ≠ 0 и x - y ≠ 0. Все найденные пары удовлетворяют этим условиям.