В треугольнике AВC медиана АА1 и биссектриса ВB1 пересекаются в точке О . Найдите отношение площади треугольника ВОА1 к площади треугольника АВС , если AB : BC = 1 : 3 .

Задача: в треугольнике ABC медиана AA1 и биссектриса BB1 пересекаются в точке O. Найти отношение площади треугольника BOA1 к площади треугольника ABC при AB:BC = 1:3. Решение (пошагово): 1) Зададим удобные координаты. - Пусть B = (0, 0), C = (2, 0). Тогда BC = 2. - Так как AB:BC = 1:3, получаем AB = BC/3 = 2/3. - Пусть A = (x, y) с x^2 + y^2 = (2/3)^2 = 4/9. - А1 - середина BC: A1 = ((0+2)/2, (0+0)/2) = (1, 0). 2) Уравнения медиаины AA1 и биссектрисы BB1. - Медиаина AA1: через A и A1, направление (A1 − A) = (1 − x, −y). Значит, любая точка на AA1 имеет координаты A + s(1 − x, −y), где s — параметр. - Биссектриса BB1: направление равен сумме единичных векторов по BA и BC. • Вектор BA = A − B = (x, y), его длина |BA| = √(x^2 + y^2) = 2/3, поэтому единичный вектор along BA равен (x, y) / (2/3) = (3/2)x, (3/2)y. • Вектор BC = C − B = (2, 0), единичный: (1, 0). • Направление BB1: d = (3/2 x + 1, 3/2 y). Значит, любая точка на BB1 имеет координаты t d = t(3/2 x + 1, 3/2 y). 3) Найдём точку пересечения O. Равенства AO1 и BB1: - A + s(1 − x, −y) = t(3/2 x + 1, 3/2 y). По компонентам: - по y: t(3/2 y) = y(1 − s) => t = (2/3)(1 − s). - по x: t(3/2 x + 1) = x + s(1 − x). Подставим t из предыдущего уравнения: (2/3)(1 − s)(3/2 x + 1) = x + s(1 − x). Упрощаем: (1 − s)(x + 2/3) = x + s(1 − x). Отсюда легко наводим, что s = 2/5. Тогда t = (2/3)(1 − 2/5) = 2/5. 4) Координаты O и его высота. - y-координата O: y_O = t(3/2 y) = (2/5)(3/2) y = (3/5) y. - Площадь треугольника BOA1: [BOA1] = 1/2 |det( OB, OA1 )|. Так как B = (0,0), A1 = (1,0), OB = O, OA1 = (1,0) - B = (1,0), det(O, A1) = x_O·0 − y_O·1 = −y_O. Значит [BOA1] = 1/2 |y_O| = 1/2 · (3/5) y = (3/10) y. - Площадь треугольника ABC: BC лежит на оси x, высота из A равна y, поэтому [ABC] = 1/2 · BC · y = 1/2 · 2 · y = y. 5) Отношение площадей. [BOA1] / [ABC] = [(3/10) y] / [y] = 3/10. Ответ: 3/10.