У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек.Когда она разложила их в кучи по 5 штук,то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки…
У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек.Когда она разложила их в кучи по 5 штук,то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки сколько ракушек было у русалочки?
Задача: количество ракушек N такое, чтобы 30 < N < 50, и
- при раскладывании по 5 остаётся 1 → N ≡ 1 (mod 5)
- при раскладывании по 3 остаётся 2 → N ≡ 2 (mod 3)
Пошаговое решение
- Запишем условия для N:
- N = 5k + 1
- N ≡ 2 (mod 3)
Подставим N из первого условия во второе: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3) Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Умножим обе стороны на обратное к 2 по модулю 3 (обратное равно 2): k ≡ 2 (mod 3).
Запишем k через параметр t: k = 3t + 2 Тогда N = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11.
Учтём условие 30 < N < 50: 30 < 15t + 11 < 50
15t + 11 > 30 ⇒ 15t > 19 ⇒ t ≥ 2
15t + 11 < 50 ⇒ 15t < 39 ⇒ t ≤ 2
Следовательно, единственное допустимое значение: t = 2.
- Находим N: N = 15·2 + 11 = 41.
Проверка:
- 41 ÷ 5 даёт остаток 1 → подходит.
- 41 ÷ 3 даёт остаток 2 → подходит.
- 30 < 41 < 50 → подходит.
Ответ: ракушек было 41.
