У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек, когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…
У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек, когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки, сколько ракушек было у русалочки?
Задача: число ракушек N соответствует
- N > 30 и N < 50
- N ≡ 1 (mod 5)
- N ≡ 2 (mod 3)
Пошаговое решение
Из условия N ≡ 1 (mod 5 запишем N как N = 5k + 1.
Подставим в второе условие: (5k + 1) ≡ 2 (mod 3). 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Обратное к 2 по модулю 3 есть 2 (потому что 2·2 = 4 ≡ 1 mod 3). Значит k ≡ 2 (mod 3). Пусть k = 3t + 2.
Подставим обратно: N = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11.
Ограничение 30 < N < 50 даёт: 31 ≤ N ≤ 49. 31 ≤ 15t + 11 ≤ 49 → 20 ≤ 15t ≤ 38 → t = 2 (единственное целое число в диапазоне).
Подставляем t = 2: N = 15·2 + 11 = 41.
Проверка (быстрая):
- 41 ÷ 5 даёт остаток 1 — подходит.
- 41 ÷ 3 даёт остаток 2 — подходит.
Ответ: у русалочки было 41 ракушка.
