У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек, когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталась, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки, сколько ракушек было у русалочки?

Задача: число ракушек N соответствует - N > 30 и N < 50 - N ≡ 1 (mod 5) - N ≡ 2 (mod 3) Пошаговое решение 1) Из условия N ≡ 1 (mod 5 запишем N как N = 5k + 1. 2) Подставим в второе условие: (5k + 1) ≡ 2 (mod 3). 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3). Обратное к 2 по модулю 3 есть 2 (потому что 2·2 = 4 ≡ 1 mod 3). Значит k ≡ 2 (mod 3). Пусть k = 3t + 2. 3) Подставим обратно: N = 5k + 1 = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. 4) Ограничение 30 < N < 50 даёт: 31 ≤ N ≤ 49. 31 ≤ 15t + 11 ≤ 49 → 20 ≤ 15t ≤ 38 → t = 2 (единственное целое число в диапазоне). 5) Подставляем t = 2: N = 15·2 + 11 = 41. Проверка (быстрая): - 41 ÷ 5 даёт остаток 1 — подходит. - 41 ÷ 3 даёт остаток 2 — подходит. Ответ: у русалочки было 41 ракушка.