Реши задачи

Ниже решение всех шести неравенств по порядку. Я даю пошагово и с пояснениями. Все в радианах.

1. sin x ≥ 1/2

• Где синус больше или равен 1/2? На промежутке вокруг верхней части единичной окружности: x ∈ [π/6, 5π/6] по модулю 2π.
• Общий вид: x ∈ [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ], k ∈ Z.

2. tan x < 1

• Функция тангенс имеет период π и определяется на интервалах между асимптотами x ≠ π/2 + kπ.
• В каждом периоде tan возрастает от −∞ до ∞, и равен 1 в точках x = π/4 + kπ.
• Следовательно, в каждом периоде решение: x ∈ (−π/2 + kπ, π/4 + kπ).
• Итог: x ∈ (−π/2 + kπ, π/4 + kπ), k ∈ Z. (Здесь точки x = π/2 + kπ исключаются по умолчанию, так как они недоступны для определения tan.)

3. 2 sin(x − π/6) ≥ √2

• Приводим к стандартной форме: sin(x − π/6) ≥ √2/2.
• Значение √2/2 равно sin(π/4). Неравенство sin θ ≥ sin(π/4) даёт θ ∈ [π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ].
• Переносим θ = x − π/6: x ∈ [π/4 + π/6 + 2kπ, 3π/4 + π/6 + 2kπ] = [5π/12 + 2kπ, 11π/12 + 2kπ].
• Итог: x ∈ [5π/12 + 2kπ, 11π/12 + 2kπ], k ∈ Z.

4. cos x ≥ 1/2

• Косинус не меньше 1/2 в промежутке вокруг 0: x ∈ [−π/3, π/3] по модулю 2π.
• Общий вид: x ∈ [−π/3 + 2kπ, π/3 + 2kπ], k ∈ Z.

5. ctg x < 1

• Cot x определён там, где sin x ≠ 0 (x ≠ kπ). Рассматриваем период (kπ, (k+1)π).
• На этом интервале cot x уменьшается от +∞ до −∞ и равен 1 в точке x = π/4 + kπ.
• Следовательно, для каждого k: x ∈ (π/4 + kπ, (k+1)π).
• Итог: x ∈ (π/4 + kπ, π + kπ), k ∈ Z.

6. 2 cos(x − π/3) ≥ √3

• Приводим к стандартной форме: cos(x − π/3) ≥ √3/2.
• Значение √3/2 соответствует углу ±π/6: cos t ≥ √3/2 при t ∈ [−π/6, π/6] + 2kπ.
• Переносим t = x − π/3: x ∈ [π/3 − π/6 + 2kπ, π/3 + π/6 + 2kπ] = [π/6 + 2kπ, π/2 + 2kπ].
• Итог: x ∈ [π/6 + 2kπ, π/2 + 2kπ], k ∈ Z.

Если надо, могу привести примеры под конкретную числовую область (например, в пределах [0, 2π)) или перевести ответы в градусы.