Провести биссектрису всех углов

Задача: на рисунке треугольника ABC провести биссектрисы всех углов (то есть провести AI, BI и CI, где I — точка пересечения биссектрис). Пошаговое руководство (для учебной плоскости, средней школы): 1) Биссектриса угла A - Что нужно сделать: построить луч AI, который делит угол BAC пополам. - Как строить: - Выберите произвольный радиус и проведите дугу с центром в A, которая пересечёт стороны AB и AC. Пусть дуга пересекает AB в точке E и AC в точке F. - Затем из точек E и F проведите дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла A. Пусть точка пересечения дуг — P. - Соедините A с точкой P. Отрезок AP есть биссектриса угла A. 2) Биссектриса угла B - Что нужно сделать: построить луч BI, делящий угол ABC пополам. - Как строить: - На сторонах AB и BC возьмите точку E' на AB и точку F' на BC аналогично предыдущему способу: проведите дугу с центром B, чтобы она пересекла AB и BC. - Из точек E' и F' проведите дуги одинакового радиуса, они пересекутся в точке P' внутри угла B. - Соедините B с P'. Получится биссектриса угла B. 3) Биссектриса угла C - Что нужно сделать: построить луч CI, делящий угол ACB пополам. - Как строить: - На сторонах BC и CA возьмите точки E'' на BC и F'' на CA аналогично: проведите дугу с центром C, пересекающую BC и CA. - Из E'' и F'' проведите дуги одинакового радиуса, они пересекутся в точке P'' внутри угла C. - Соедините C с P''. Это биссектриса угла C. 4) Пересечение биссектрис и инцентр - Все три биссектрис AI, BI, CI пересекаются в одной точке. Найдите её как пересечение любых двух биссектрис (например, AI и BI). Эта точка называется инцентром треугольника. - Свойство: инцентр I — центр вписанной окружности треугольника. Расстояние от I до любой стороны (AB, BC, CA) равное радиусу вписанной окружности r. 5) Что можно сделать дальше (по желанию) - Построить вписанную окружность: опустите перпендикуляры из I к сторонам AB, BC и CA, измерьте расстояния; радиус вписанной окружности равен этим расстояниям. Проведите окружность с центром I радиуса r — она касается всех трёх сторон. Кратко: по каждой вершине треугольника A, B, C строим две дуги от соседних сторон и затем доп строим дуги от получившихся точек, чтобы найти точку на биссектрисе. Соединяем вершину с этой точкой — получаем три биссектрисы, которые сходятся в одной точке I (инцентр).