Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6, BC=CD=10, AD=16, АC=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность».
Ниже приведены теоретические факты, которые часто используют учащиеся для решения подобных задач, а затем — подробное решение именно для данной задачи.
Теоретические факты (основы, на которые опираются):
- Факт 1. Окружность вокруг четырехугольника (кругопокрытие) существует, если противоположные углы суммы равны 180°. То есть ABCD цикличен ⇔ ∠ABC + ∠ADC = 180°.
- Факт 2. Закон косинусов в треугольнике: для треугольника со сторонами a, b, c противоположного углу C имеем c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C. Отсюда cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab).
- Факт 3. В двух треугольниках ABC и ADC, которые имеют общую диагональ AC, можно по их сторонам вычислить углы ∠ABC и ∠ADC по формулам из Факта 2.
- Факт 4. Теорема Птолая: для цикличного четырехугольника AB·CD + BC·AD = AC·BD. Это условие является эквивалентом цикличности при заданной конфигурации.
- Факт 5. Признак по диагонали: если сумма углов при вершинах B и D (на двух концах диагонали AC) равна 180°, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности.
Решение задачи (пошагово):
Даны: AB = 6, BC = 10, CD = 10, AD = 16, AC = 14.
1) Найдём угол ∠ABC в треугольнике ABC с использованием Факта 2.
- Применяем: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2·AB·BC·cos∠ABC.
- cos∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2·AB·BC)
- = (6^2 + 10^2 - 14^2) / (2·6·10)
- = (36 + 100 - 196) / 120
- = (-60) / 120
- = -1/2.
- Следовательно, ∠ABC = 120°.
2) Найдём угол ∠ADC в треугольнике ADC с использованием Факта 2.
- Применяем: AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2·AD·CD·cos∠ADC.
- cos∠ADC = (AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2·AD·CD)
- = (16^2 + 10^2 - 14^2) / (2·16·10)
- = (256 + 100 - 196) / 320
- = 160 / 320
- = 1/2.
- Следовательно, ∠ADC = 60°.
3) Сложим углы противоположных вершин.
- ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.
4) По Факту 1 (противоположные углы суммы 180°) это значит: точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, по данному набору длин можно описать окружность около этого четырехугольника.
Дополнительно (по желанию) можно упомянуть альтернативу:
- По Факту 4, если бы четырехугольник был циклическим, выполнялось бы равенство Птоломея: AC·BD = AB·CD + BC·AD. Подставив известные значения, можно было бы найти BD и проверить согласование с возможной конфигурацией треугольников ABD и CBD. Но основной путь решения здесь — через сумму углов и Закон косинусов.
Итог: из-за того, что ∠ABC = 120° и ∠ADC = 60°, их сумма равна 180°, значит ABCD цикличен. Окружность, проходящая через A, B, C и D, существует.
