8sin^2(7π/12+x) - 2√3cos2x=5

Задача: 8 sin^2(7π/12 + x) - 2√3 cos(2x) = 5 Решение пошагово: 1) Применяем тождество sin^2 θ = (1 − cos 2θ)/2. Пусть θ = 7π/12 + x. Тогда 8 sin^2(7π/12 + x) = 8 · (1 − cos(2θ))/2 = 4(1 − cos(2θ)). Атакже 2θ = 2(7π/12 + x) = 7π/6 + 2x. Следовательно исходное уравнение преобразуется в: 4 − 4 cos(7π/6 + 2x) − 2√3 cos(2x) = 5. 2) Перенесем члены и упростим: −4 cos(7π/6 + 2x) − 2√3 cos(2x) = 1 умножим на −1: 4 cos(7π/6 + 2x) + 2√3 cos(2x) = −1. 3) Обозначим a = 2x. Тогда получим: 4 cos(7π/6 + a) + 2√3 cos a = −1. 4) Раскроем cos(7π/6 + a) через суммы: cos(7π/6 + a) = cos(7π/6) cos a − sin(7π/6) sin a. Из значений углов: cos(7π/6) = −√3/2, sin(7π/6) = −1/2. Следовательно cos(7π/6 + a) = (−√3/2) cos a − (−1/2) sin a = (−√3/2) cos a + (1/2) sin a. Умножим на 4: 4 cos(7π/6 + a) = −2√3 cos a + 2 sin a. 5) Подставляем в уравнение: (−2√3 cos a + 2 sin a) + 2√3 cos a = −1. Здесь члены −2√3 cos a и +2√3 cos a сокращаются. Осталось: 2 sin a = −1 → sin a = −1/2. 6) Поскольку a = 2x, получаем: sin(2x) = −1/2. Обобщённые решения для синуса равного −1/2: 2x = 7π/6 + 2kπ или 2x = 11π/6 + 2kπ, где k ∈ Z. Делим на 2: x = 7π/12 + kπ или x = 11π/12 + kπ, где k ∈ Z. Ответ: x = 7π/12 + kπ или x = 11π/12 + kπ, при любом целочисленном k.