а) Решите неравенство: sin y < -1/√2
b) Используя результаты предыдущего действия решите:sin(3x + π/6) < - √2/2
с) Найдите решение неравенства: 1/2 * cos 3x + √3/2 * sin 3x < -√2/2
Ниже подробное решение с понятными шагами.
Задача a)
sin y < -1/√2 = -√2/2
1) Где sin θ = -√2/2? Это происходит при θ = 5π/4 и θ = 7π/4 (и плюс период 2π). То есть:
y = 5π/4 + 2kπ или y = 7π/4 + 2kπ, где k ∈ Z.
2) На каком отрезке синус меньше чем -√2/2? На дуге ниже уровня -√2/2 между этими двумя точками:
y ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ), для любых целых k.
Ответ для a):
y ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ), k ∈ Z.
Задача b)
Используем результат из a): пусть t = 3x + π/6. Нужно sin t < -√2/2.
1) По результату a) решение для t: t ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ), k ∈ Z.
2) Подставим t = 3x + π/6:
3x + π/6 ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ).
3) Вычтем π/6 из границ:
3x ∈ (5π/4 − π/6 + 2kπ, 7π/4 − π/6 + 2kπ)
= (13π/12 + 2kπ, 19π/12 + 2kπ).
4) Разделим на 3:
x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3), k ∈ Z.
Ответ для b):
x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3), k ∈ Z.
Задача c)
Решение отличается тем, что левая часть можно привести к синусу через фазовый сдвиг.
1) Запишем A cos 3x + B sin 3x с A = 1/2, B = √3/2. Найдем амплитуду:
R = sqrt(A^2 + B^2) = sqrt(1/4 + 3/4) = 1.
2) Найдем угол φ такой, чтобы sin(3x + φ) = sin 3x cos φ + cos 3x sin φ. Тогда сравнивая коэффициенты:
cos φ = B = √3/2, sin φ = A = 1/2. Это даёт φ = π/6.
3) Таким образом,
(1/2) cos 3x + (√3/2) sin 3x = sin(3x + π/6).
4) Следовательно неравенство c) становится тем же неравенством, что и в b):
sin(3x + π/6) < -√2/2.
5) По решению части b:
3x + π/6 ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ)
=> x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3).
Ответ для c):
x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3), k ∈ Z.
Коротко резюме:
- a) y ∈ (5π/4 + 2kπ, 7π/4 + 2kπ)
- b) x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3)
- c) равносильно b): x ∈ (13π/36 + 2kπ/3, 19π/36 + 2kπ/3)
