Как решать модули

Вы имеете в виду два разных понятия под словом «модуль»?

• модуль как абсолютное значение |x| (решение уравнений и неравенств с модулем);
• модуль как остаток по модулю в теории чисел (конгруэнции и решение сравнений по модулю).

Ниже кратко как решать оба типа. Если скажете, какой именно вам нужен, могу разобрать конкретно ваш пример пошагово.

1. Модули (абсолютные значения) |f(x)|

• Основные правила
  • Если |f(x)| = a:
    • если a < 0 — решений нет;
    • если a = 0 — решается f(x) = 0;
    • если a > 0 — решаются оба уравнения: f(x) = a и f(x) = -a; решения образуют объединение.
  • Если |f(x)| ≤ a (или ≥ a):
    • |f(x)| ≤ a эквивалентно -a ≤ f(x) ≤ a;
    • |f(x)| ≥ a эквивалентно f(x) ≤ -a или f(x) ≥ a.
• Как решать
  • Разделить по ситуациям внутри модуля: сначала решить уравнения без модуля, учитывая знаки.
  • Часто удобно рассмотреть разрез на области, где выражение под модулем имеет постоянный знак, и выписать линейные/полиномиальные неравенства на каждой области.
  • Проверяйте каждый найденный корень: подставьте, чтобы убедиться в корректности (иногда после squaring может появиться ложное решение).
• Примеры
  • |2x - 3| = 5 → 2x - 3 = 5 или 2x - 3 = -5 → x = 4 или x = -1.
  • |x^2 - 4| ≤ 3 → -3 ≤ x^2 - 4 ≤ 3 → 1 ≤ x^2 ≤ 7 → x ∈ [-√7, -1] ∪ [1, √7].
  • |ax + b| ≥ c (c > 0) → ax + b ≥ c или ax + b ≤ -c; решайте каждую ветку и объединяйте.

2. Модуль в теории чисел (конгруэнции, остатки)

• Основные идеи
  • a ≡ b (mod n) означает, что n делит разность a - b.
  • Решение линейных конгруэнций ax ≡ b (mod n):
    • Пусть d = gcd(a, n). Решение возможно тогда и только тогда, когда d | b.
    • Разделите на d: (a/d)x ≡ (b/d) (mod n/d). Если gcd(a/d, n/d) = 1, найдите обратный элемент и получите единственное решение модуль n/d. Всего будет d различных решений по модулю n.
  • Китайская теорема: если модuli m1, m2, ... попарно взаимно просты, то система x ≡ ai (mod mi) имеет уникальное решение модуль M = m1m2... и можно найти его поCRT.
• Быстрые примеры
  • 7x ≡ 3 (mod 10): gcd(7,10)=1, обратный к 7 по модулю 10 равен 3 (потому что 73=21 ≡1). x ≡ 33 ≡ 9 (mod 10).
  • 12x ≡ 8 (mod 20): d = gcd(12,20) = 4, и 4 | 8, значит решения существуют. Разделим на 4: 3x ≡ 2 (mod 5). Обратный к 3 по модулю 5 равен 2 (32=6 ≡1). Тогда x ≡ 22 ≡ 4 (mod 5). Значит решения по модулю 20: x ≡ 4, 9, 14, 19 (то есть все x ≡ 4 (mod 5)).
  • Система x ≡ 2 (mod 3) и x ≡ 3 (mod 5): по CRT многие способы, итог: x ≡ 8 (mod 15).

Как дальше помогу

• скажите, какой именно тип модуля вы имеете в виду (абсолютное значение или конгруэнции).
• пришлите пример задачи, и я разберу её пошагово с пояснениями и проверкой ответа.

Готов разобрать конкретную задачу прямо сейчас.