реши уравнение (√(х+6))-(√(х+1))=√(2х-5)

Задача (для предмета Алгебра, 11-й класс, цель — понять) решается подробно и с проверкой.

Домен

• Под корнями x+6 ≥ 0 и x+1 ≥ 0 → x ≥ -1
• Правой части: 2x − 5 ≥ 0 → x ≥ 2,5 Итого допустимый диапазон: x ≥ 2,5.

Решение

1. Учитывая, что слева выражение sqrt(x+6) − sqrt(x+1) неотрицательно на заданном домене, правую часть тоже неотрицательна, можно безопасно возводить в квадрат: (sqrt(x+6) − sqrt(x+1))^2 = (sqrt(2x−5))^2.

2. Раскрываем скобки слева: (x+6) + (x+1) − 2 sqrt((x+6)(x+1)) = 2x − 5 2x + 7 − 2 sqrt((x+6)(x+1)) = 2x − 5.

3. Убираем 2x с обеих сторон: 7 − 2 sqrt((x+6)(x+1)) = −5 −2 sqrt((x+6)(x+1)) = −12 sqrt((x+6)(x+1)) = 6.

4. Возводим в квадрат еще раз: (x+6)(x+1) = 36 x^2 + 7x + 6 = 36 x^2 + 7x − 30 = 0 (x + 10)(x − 3) = 0.

5. Корни квадратичного уравнения: x = 3 или x = −10.
   С учетом домена x ≥ 2,5 остаётся только x = 3 (x = −10 недопустимо).

6. Проверка в исходном уравнении: √(3+6) − √(3+1) = √(2·3 − 5) √9 − √4 = √1 3 − 2 = 1, что верно.

Ответ: x = 3.