7х²-5х+12

Задача: 7x^2 − 5x + 12 Цель: понять, какие корни есть у этого квадратичного многочлена и какие свойства графика.

1. Коэффициенты

• a = 7, b = −5, c = 12

2. Дискриминант и корни

• D = b^2 − 4ac = (−5)^2 − 4·7·12 = 25 − 336 = −311
• Так как D < 0, у уравнения 7x^2 − 5x + 12 = 0 действительных корней нет.
• Комплексные корни: x = (5 ± i√311) / 14 Примерно x ≈ 0.357 ± 1.259i

3. Вершина параболы

• Координата x-вершины: x_v = −b/(2a) = 5/14 ≈ 0.357
• Значение функции в вершине: y_v = f(x_v) = 7x_v^2 − 5x_v + 12 = 311/28 ≈ 11.107
• Так как a > 0, график параболы направлен вверх и вершина является точкой минимума.

4. Канонический вид (сведение к квадрату)

• f(x) = 7x^2 − 5x + 12
• Можно записать как: f(x) = 7(x − 5/14)^2 + 311/28
• Минимум достигается в x = 5/14 и равен 311/28.

5. Факторизация на целые множители

• Попытка разложить на вид (7x + m)(x + n) даёт mn = 12 и 7n + m = −5. Пробуя пары целых m, n, решений нет.
• Следовательно, квадратный многочлен не раскладывается на линейные множители с целыми коэффициентами.

Итог

• Реальных корней нет.
• Комплексные корни: x = (5 ± i√311)/14.
• Вершина параболы: (5/14, 311/28), минимальное значение функции равно 311/28 (приблизительно 11.107).