При каком значении k прямые kx + 9x + 3y - 18 = 0 и 3kx + x + y - 7 = 0 параллельны

Делаем задачу по шагам.

1. Приведём уравнения к стандартному виду:

• Первая прямая: kx + 9x + 3y - 18 = 0 -> (k + 9)x + 3y - 18 = 0.
• Вторая прямая: 3kx + x + y - 7 = 0 -> (3k + 1)x + y - 7 = 0.

2. Условия параллельности прямых: Для уравнений ax + by + c = 0 и dx + ey + f = 0 прямые параллельны, если их векторы нормалей (a, b) и (d, e) пропорциональны, то есть a/e = d/b или эквивалентно a·e − b·d = 0.

Здесь:

• Для первой: a1 = k + 9, b1 = 3.
• Для второй: a2 = 3k + 1, b2 = 1.

Условие параллельности: a1·b2 − a2·b1 = 0. (кроме того, можно через равенство угловых коэффициентов: m1 = −a1/b1 и m2 = −a2/b2)

3. Решение через determinants или через угловые коэффициенты:

• m1 = −(k + 9)/3, m2 = −(3k + 1)/1.
• Параллельны, если m1 = m2: −(k + 9)/3 = −(3k + 1) → (k + 9)/3 = 3k + 1.

Решаем: k + 9 = 3(3k + 1) = 9k + 3 9 − 3 = 9k − k 6 = 8k k = 6/8 = 3/4.

4. Проверка на совпадие (на всякий случай): При k = 3/4 коэффициенты равны не обоим линиям пропорциональны с тем же множителем для свободных членов, т. е. они не совпадают, а именно параллельны и различны.

Итак, значение k, при котором прямые параллельны: k = 3/4.