Докажите что если два числа при делении на a имеют одинаковый остаток то их разность делится на a

Цель: показать, что если два целых числа имеют одинаковый остаток при делении на a, то их разность делится на a. Пусть x и y — целые числа, a — положительное целое число. Пусть они дают одинаковый остаток при делении на a. Тогда существует число r (0 ≤ r < a) и целые q1, q2 такие, что: - x = a q1 + r - y = a q2 + r Разность чисел: x − y = (a q1 + r) − (a q2 + r) = a(q1 − q2) Так как (q1 − q2) целое, следует, что a делит x − y. То есть x − y кратно a. Замечания: - Это эквивалентно утверждению: x ≡ y (mod a) тогда и только тогда, когда a | (x − y). - Пример: пусть a = 5, x = 12, y = 7. Остатки при делении на 5 — 2 и 2 соответственно. Разность x − y = 5 делится на 5.