докажите что если два числа при делении на a имеют одинаковый остаток то их разность делится на a

Цель: показать, что если два целых числа имеют одинаковый остаток при делении на a, то их разность делится на a.

Пусть x и y — целые числа, a — положительное целое число. Пусть они дают одинаковый остаток при делении на a. Тогда существует число r (0 ≤ r < a) и целые q1, q2 такие, что:

• x = a q1 + r
• y = a q2 + r

Разность чисел: x − y = (a q1 + r) − (a q2 + r) = a(q1 − q2)

Так как (q1 − q2) целое, следует, что a делит x − y. То есть x − y кратно a.

Замечания:

• Это эквивалентно утверждению: x ≡ y (mod a) тогда и только тогда, когда a | (x − y).
• Пример: пусть a = 5, x = 12, y = 7. Остатки при делении на 5 — 2 и 2 соответственно. Разность x − y = 5 делится на 5.