Найти общее решение дифференциального уравнения с раделяющимися переменными yy'+xe^y =0

Задача: найти общее решение dy/dx для уравнения y y' + x e^y = 0, где y' = dy/dx.

Пошаговое решение (с пояснениями):

1. Запишем уравнение как отделимое: y dy/dx = - x e^y, следовательно dy/dx = -(x e^y)/y, при условии y ≠ 0.

2. Разделим переменные: y e^{-y} dy = - x dx.

3. Интегрируем обе стороны: ∫ y e^{-y} dy = ∫ - x dx.

4. Найдём интегралы: ∫ y e^{-y} dy = (-y - 1) e^{-y} + C ∫ - x dx = - x^2/2 + C

   Соединяя константы в одну общую константу, получаем (-y - 1) e^{-y} = - x^2/2 + C.

5. Приведём к более обычной форме: -(y + 1) e^{-y} + x^2/2 = C либо эквивалентно (y + 1) e^{-y} - x^2/2 = C'.

   Здесь C' — произвольная константа.

6. Ответ: Общее решение задаётся неявно неравенством (y + 1) e^{-y} - x^2/2 = C, или эквивалентно (y + 1) e^{-y} = x^2/2 + C.

Замечания:

• Разделение переменных в явном виде y' = dy/dx требовало y ≠ 0. При y = 0 уравнение превращается в x = 0, поэтому глобального решения через весь диапазон x с y ≡ 0 нет.
• Полученное решение задаёт семейство неявных кривых, которые и являются общим интегралом данного дифференциального уравнения. Если нужно, можно оставить в виде x^2 = 2 [C - (y + 1) e^{-y}] и рассмотреть зависимость y от x численно.