Найти общее решение дифференциального уравнения с раделяющимися переменными yy'+xe^y =0

Задача: найти общее решение dy/dx для уравнения y y' + x e^y = 0, где y' = dy/dx. Пошаговое решение (с пояснениями): 1) Запишем уравнение как отделимое: y dy/dx = - x e^y, следовательно dy/dx = -(x e^y)/y, при условии y ≠ 0. 2) Разделим переменные: y e^{-y} dy = - x dx. 3) Интегрируем обе стороны: ∫ y e^{-y} dy = ∫ - x dx. 4) Найдём интегралы: ∫ y e^{-y} dy = (-y - 1) e^{-y} + C ∫ - x dx = - x^2/2 + C Соединяя константы в одну общую константу, получаем (-y - 1) e^{-y} = - x^2/2 + C. 5) Приведём к более обычной форме: -(y + 1) e^{-y} + x^2/2 = C либо эквивалентно (y + 1) e^{-y} - x^2/2 = C'. Здесь C' — произвольная константа. 6) Ответ: Общее решение задаётся неявно неравенством (y + 1) e^{-y} - x^2/2 = C, или эквивалентно (y + 1) e^{-y} = x^2/2 + C. Замечания: - Разделение переменных в явном виде y' = dy/dx требовало y ≠ 0. При y = 0 уравнение превращается в x = 0, поэтому глобального решения через весь диапазон x с y ≡ 0 нет. - Полученное решение задаёт семейство неявных кривых, которые и являются общим интегралом данного дифференциального уравнения. Если нужно, можно оставить в виде x^2 = 2 [C - (y + 1) e^{-y}] и рассмотреть зависимость y от x численно.