Из точки A, не лежащей на окружности, проведена касательная AB и секущая AP, которая пересекает окружность в точках K и P, начиная от точки A. Известно, что AB=6, а отрезок KP на…
Из точки A, не лежащей на окружности, проведена касательная AB и секущая AP, которая пересекает окружность в точках K и P, начиная от точки A. Известно, что AB=6, а отрезок KP на 6 больше отрезка AK.
Задача сводится к закону мощности точки относительно круга: для внешней точки A касательная AB и любая секущая AP, пересекающая круг в точках K и P, выполняется
AB^2 = AK · AP.
Дано: AB = 6, KP на 6 больше AK, и секущая AP пересекает круг в точках K и P (K ближе к A, потом P).
Пусть AK = x. Тогда KP = AK + 6 = x + 6, и AP = AK + KP = x + (x + 6) = 2x + 6.
Используем равенство мощности точки: AB^2 = AK · AP ⇒ 6^2 = x · (2x + 6) ⇒ 36 = 2x^2 + 6x.
Получаем квадратное уравнение: 2x^2 + 6x - 36 = 0 ⇒ x^2 + 3x - 18 = 0.
Решая: D = 3^2 - 4·1·(-18) = 9 + 72 = 81, x = (-3 ± 9)/2. Из двух корней допустим только x = 3 (положительный).
Следовательно:
- AK = x = 3
- KP = AK + 6 = 9
- AP = AK + KP = 12
Проверка: AB^2 = AK · AP = 3 · 12 = 36, AB = 6, что соответствует данному.
Ответ: AK = 3, KP = 9, AP = 12.
