Задача: две равные по величине силы F приложены к одной точке под углом 72° друг к другу. Их результирующая сила имеет величину 120 (ед.). Найдите величины сил.
Шаг 1. Обозначим каждую силу как вектор F, угол между ними θ = 72°.
Шаг 2. По теореме косинусов для параллелограмма сил:
R^2 = F^2 + F^2 + 2F^2 cos θ = 2F^2 (1 + cos 72°).
Шаг 3. Используем тождества:
1 + cos 72° = 2 cos^2 36°.
Тогда R^2 = 2F^2 · (2 cos^2 36°) = 4F^2 cos^2 36°,
следовательно R = 2F cos 36° (с положительным значением угла).
Шаг 4. Найдем F:
F = R / (2 cos 36°) = 120 / (2 cos 36°).
Шаг 5. Значение cos 36° можно записать точно:
cos 36° = (√5 + 1) / 4 = φ/2, где φ — золотое сечение (приблиз. 1.61803).
Поэтому 2 cos 36° = φ, и F = 120 / φ.
Шаг 6. Вычисление:
1/φ = φ − 1 = (√5 − 1) / 2.
Тогда F = 120 · (φ − 1) = 120 · (√5 − 1) / 2 = 60(√5 − 1).
Приближенно:
√5 ≈ 2.2360679, so F ≈ 60(1.2360679) ≈ 74.16.
Ответ:
Каждая сила имеет величину примерно 74,16 кгс (кгс). Точная форма: F = 60(√5 − 1) кгс.
