Для х/ х в квадрате +1 Построить схематично график, верно показав, пересечение с абсциссой, промежутки монотонности, все асимптоты провести пунктиром, показать локальные эксремумы (нули производной), показать точки перегиба

Решение по задаче: f(x) = x / (x^2 + 1) Цель: построить схематичный график с указанием пересечения с абсциссой, промежутков монотонности, асимптот (пунктиром), локальных экстремумов и точек перегиба. 1) Основные свойства - Область определения: вся числовая ось R (деноминатор x^2+1 > 0). - Функция не имеет вертикальных асимптот. - Горизонтальная асимптота: y = 0 при x → ±∞ (поскольку f(x) ≈ x/x^2 = 1/x → 0). - Функция нечетная: f(-x) = -f(x). Это означает симметрию графика относительно начала координат. 2) Первая производная и интервалы монотонности - f(x) = x/(x^2+1) - f'(x) = [(x^2+1)·1 − x·(2x)] / (x^2+1)^2 = (1 − x^2) / (x^2+1)^2 - Знаменатель положителен при всех x, значит знак производной зависит от числителя (1 − x^2). Критические точки: x = −1 и x = 1 (где f'(x) = 0). Промежутки монотонности: - (-∞, −1): f'(x) < 0 → функция убывает. - (−1, 1): f'(x) > 0 → функция возрастает. - (1, ∞): f'(x) < 0 → функция убывает. Локальные экстремумы: - При x = −1: локальный минимум. y = f(−1) = −1/2. - При x = 1: локальный максимум. y = f(1) = 1/2. 3) Пересечение с осью абсцисс (x-axis) - Решаем f(x) = 0: x/(x^2+1) = 0 → x = 0. - Точка пересечения: (0, 0). 4) Ассимптоты - Вертикальных асимптот нет (x^2+1 ≠ 0 для любых x). - Горизонтальная асимптота: y = 0 (пунктиром на чертеже). - Примечание: график пересекает эту асимптоту в точке (0,0), но при больших |x| приближается к ней. 5) Точки перегиба (точки смены выпуклости) - Вторая производная: f''(x) = [-2x(3 − x^2)] / (x^2+1)^3 - f'' = 0 при x ∈ { −√3, 0, √3 }. - Проверив знаки выпуклости, получаем: -(-∞, −√3): вогнуто вниз -(-√3, 0): вогнуто вверх -(0, √3): вогнуто вниз -(√3, ∞): вогнуто вверх Координаты точек перегиба: - x = −√3: y = f(−√3) = −√3 / 4 - x = 0: y = f(0) = 0 - x = √3: y = f(√3) = √3 / 4 6) Точки для быстрой схематичной надписи на чертеже - Пересечение с x-axis: (0, 0) - Локальный минимум: (−1, −1/2) - Локальный максимум: (1, 1/2) - Точки перегиба: (−√3, −√3/4), (0, 0), (√3, √3/4) - Гор. асимптота: y = 0 (пунктиром) 7) Как нарисовать схематично (практический план) - Нарисуйте оси координат. - Отметьте точки: (−1, −1/2), (1, 1/2) — для экстремумов; (0,0) — пересечение и перегиб; (−√3, −√3/4), (√3, √3/4) — точки перегиба. - Проведите плавную кривую, учитывая: - график odd, симметричен относительно начала координат; - возрастает на (-1,1), убывает за пределами этого интервала; - в точке x = −1 достигается локальный минимум, в x = 1 — локальный максимум; - выпуклости меняются в точках перегиба: −√3, 0, √3; - горизонтальная асимптота y = 0: график приближается к ней на больших |x| (пунктивная прямая по мере чертежа). Краткое резюме характеристик функции f(x) = x/(x^2+1): - Область: R. - Гор. асимптота: y = 0; вертикальных нет. - Ноль производной в x = ±1 → локальные экстремумы: min в (−1, −1/2), max в (1, 1/2). - Пересечение с осью x: (0,0). - Точки перегиба: x = −√3, 0, √3; координаты (−√3, −√3/4), (0,0), (√3, √3/4). - Область значений: y ∈ [−1/2, 1/2]. Если хотите, могу привести простой чертёж в текстовой форме (условными символами) или расписать пошагово, как построить график в графическом редакторе.